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Bonsoir J'ai trouvé une démonstration trigonométrique qui me semble assez élégante

Soit le point M d'affixe complexe (x+iy) dont on cherche l'argument en mesure principale, noté atan2(y;x) = alpha.
On cherche à démontrer que :
                         atan2(y;x) = 2 artan ( y/(rac(x²+y²)+x ) )

1) On commence d'abord par supposer : x²+y² = r² = 1 ; c'est à dire qu'on place le point M sur le cercle trigonométrique
On projette M en H sur l'axe des x et on note A'(-1) (faire la figure !)
Soit a = atan2(y;x). Il s'agit de montrer que tan (a/2) = y/(1+x) = y/(x - (-1)) = HM / A'H
Soit b = l'angle orienté de vecteurs (A'O ; A'M)
Puisque OMA' est isocèle, b = OMA'
et puisque les 3 angles de OMA' totalisent pi radian, et par soustraction : HOM = pi - (pi - 2b) = 2b
Or HOM = a, d'où le résultat.
Finalement, on a eu besoin, après avoir posé le problème, de la somme des angles d'un triangle et d'un triangle isocèle aux 2 angles de base égaux...

2) On suppose maintenant :  x²+y² = r² != 0 ; c'est à dire qu'on place le point M partout sauf à l'origine
La fraction est homogène en x et y qui se divisent facilement par r, et le tour est joué. cqfd. AXEL ML
(heureusement en passant que tu as rectifié le +1 en +x...)