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#1 Re : Entraide (supérieur) » Dériver f(x) = intégrale de 0 à ex de ln(u2 +1/2 du » 02-11-2016 12:00:36
Re,
En effet, j'avais oublié que [tex] (G(0))' = 0 [/tex]
D'où
[tex] f'(x) = e^xG'(e^x) [/tex]
[tex] f'(x) = e^xg(e^x) [/tex]
Donc [tex] f'(x) = e^xln(e^{2x} + \frac{1}{2}) [/tex]
#2 Re : Entraide (supérieur) » Dériver f(x) = intégrale de 0 à ex de ln(u2 +1/2 du » 02-11-2016 10:43:32
Bonjour,
Si l'on pose [tex] f(x) = \int_0^{e^x}\, ln(u^2 + \frac{1}{2}),du [/tex] et [tex] g(x) = ln(u^2 + \frac{1}{2}) [/tex]
Alors on a:
[tex] f(x) = G(e^x) - G(0) [/tex]
[tex] f'(x) = (G(e^x) - G(0))' [/tex]
[tex] f'(x) = e^xG'(e^x) - G'(0) [/tex]
[tex] f'(x) = e^xg(e^x) - g(0) [/tex]
[tex] f'(x) = e^x ln(e^{2x}+ \frac{1}{2}) - ln(\frac{1}{2}) [/tex]
A partir de cette égalité, on peut déduire la primitive de g(x):
[tex] G(x) = xln(x^2 + \frac{1}{2}) [/tex]
d'où [tex] f'(x) = xln(x^2 + \frac{1}{2}) [/tex]
Les signes de cette dérivée correspondent aux variations de f(x).
Merci pour m'avoir éclairé.
#3 Re : Entraide (supérieur) » Dériver f(x) = intégrale de 0 à ex de ln(u2 +1/2 du » 31-10-2016 20:59:01
Bonsoir Hiroki.
Tu es amené à dériver une fonction composée.
Soit [tex]F(t) = \int_0^t \ln\left( u^2+\frac12\right)\,\rm du[/tex]. Tu sais dériver [tex]F[/tex] n'est-ca pas ? Eh bien tu as [tex]f(x)=F(e^x)[/tex].
Ostap Bender.
Justement, je suis encore bloqué...en intégrant par partie, j'obtiens [tex] [u*ln(u^2 + \frac{1}{2})] [/tex] - [tex] \int_0^t\, \frac{2u^2}{u^2 + \frac{1}{2}}\, dx[/tex]. Je n'arrive pas à voir quelle est la primitive de [tex] \int_0^t\, \frac{2u^2}{u^2 + \frac{1}{2}}\, dx[/tex] . A moins que je sois vraiment aveugle et que la solution est évidente.
J'ai essayé de réintégrer [tex] \int_0^t\, \frac{2u^2}{u^2 + \frac{1}{2}}\, dx[/tex] mais je reviens sur [tex] \int_0^t \ln\left( u^2+\frac12\right)\,\rm du[/tex] ce qui me bloque.
#4 Entraide (supérieur) » Dériver f(x) = intégrale de 0 à ex de ln(u2 +1/2 du » 31-10-2016 18:15:36
- Hiroki1313
- Réponses : 8
Bonjour,
Voici mon problème, issu d'un DM de L1 MPI. Comme l'indique le titre, je dois dériver la fonction f, définie par:
f(x) = [tex] \int_0^{e^{x}}\,\ln(u^2 + \frac{1}{2})\,dx[/tex]
Pour commencer, j'ai intégré par partie, car je ne sais pas intégrer ln(x2 +( 1/2)).
En posant g'(x) = 1 donc g(x) = u
et v(x) = [tex]ln( x^2 + \frac{1}{2})[/tex] donc v'(x) =[tex]\frac{2x}{x^2 + \frac{1}{2}}[/tex],
On obtient alors [tex] [u*ln( u^2 + \frac{1}{2})] [/tex] - [tex] \int_0^{e^{x}}\,\frac{2u^2}{u^2+\frac{1}{2}}\,dx[/tex]
Mon problème vient donc de la deuxième intégrale, que je ne sais pas intégrer.Cette partie me bloque car je n'arrive pas à trouver cette primitive. Si je fait par IPP, je retombe sur le négatif de l'intégrale de base, ce que je ne veux pas. J'ai pensé au changement de variable mais je n'ai pas d'intégrale de la form int f(x)f'(x), donc je ne peux pas utiliser cette méthode.
Je sais ensuite que graphiquement, je devrais trouver f'(x) < 0 sur ][tex]-\infty[/tex]; [tex]\sqrt{\frac{-1}{2}} [/tex]] et sur [0; [tex]\sqrt{\frac{1}{2}} [/tex]] et que f'(x) > 0 sur [ [tex]\sqrt{\frac{-1}{2}} [/tex]; 0] et sur [tex]\sqrt{\frac{1}{2}} [/tex]; [tex]+\infty[/tex]]
Merci d'avance pour les pistes.
P.S: Je suis "bigleux", c'est-à-dire que je ne vois pas ce qui est évident. Donc il se pourrait que je sois passé à côté d'une piste me permettant de résoudre cette intégrale.
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