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bonjour
mon but est de calculer[tex]\Phi (z)=\frac{dz}{\sqrt[2]{\frac{4Gm}{z}+2C}}[/tex]
j'ai posée un changement de variable  [tex]u=\sqrt{\frac{4Gm}{z}+2C}[/tex]
et j'ai obtient [tex]\Phi (u)=\frac{-8Gm}{(u%
%TCIMACRO{\U{b2}}%
%BeginExpansion
{{}^2}%
%EndExpansion
-2C)%
%TCIMACRO{\U{b2}}%
%BeginExpansion
{{}^2}%
%EndExpansion
}du[/tex]
j'ai fais le calcule de cette forme déffirentiels j'ai trouve selon mes données de probléme deux cas
on pose :
[tex]I=\int \frac{1}{(u%
%TCIMACRO{\U{b2}}%
%BeginExpansion
{{}^2}%
%EndExpansion
-2C)%
%TCIMACRO{\U{b2}}%
%BeginExpansion
{{}^2}%
%EndExpansion
}du[/tex]

1ere cas :C>0 est la solution est
on pose 2C=[tex]\alpha^{2}[/tex]
[tex]I=\frac{1}{4\alpha ^{3}}\ln |\frac{u+\alpha }{u-\alpha }|-\frac{2u}{%
4\alpha ^{2}(u^{2}-\alpha ^{2})}[/tex]
[tex]ln\frac{z}{4Gm}+2\ln \left\vert \sqrt{%
\frac{4Gm}{z}+\alpha ^{2}}+\alpha \right\vert +\frac{z}{%
alpha ^{2}}=st+k[/tex]
2 eme cas :C<0
-2C=[tex]\alpha^{2}[/tex]
[tex]I=\frac{1}{2\alpha ^{4}}\arctan \frac{u}{\alpha }+\frac{u}{(\alpha
^{5}+u^{2}\alpha ^{3})^{2}}[/tex]
[tex][/tex]
j'ai essayé de trouver la solution exact mais j'ai rien trouvée je pense a une solution approchée avec une méthode numérique
maisj'ai trouvé une difficulté d'exprimer z en fonction de t 
pouvez vous me donner une idée

merci bien je vais essayer avec ce changement de variable

bonjour oui ta raison mais j'ai oublier un carré sur U mon intégrale est :
∫1(u²−2c)2du
merci pour ta réponse

bonjour
j'ai poser mon systéme différentielle sous forme d'un probléme de cauchy
X'(t)=F(X(t))   avec       X(t))=(x1,x2,x3,x4)=(x,x',y,y')
x(0)=0            x'(0)=V
y(0)=0         y'(0)=-V

avec       F(X(t))=(x2,-GM/(x1-x3)²,x4,Gm/(x1-x3)²)
je trouve que le theorem de cauchy-lipshitz n'est pas appliquable car les condition initial ne vérifié pas les condition de domaine de définition
j'ai changer les condition initial j'ai posé x(0)=epsilon      et y(0)=-epsilon
je veux montrer est ce que théoreme de cauchy-lipshitz applicable , est ce que F est lipshitzienne pouvez-vous me donner une ideé de la montrer

oui j'ai déja fais cette etape je tombe sur cette equation :
(u')²=2G(M+m)/u(t)+cste  pouvez vous me onner une idée pour la résoudre merci d'avance

non j'ai pas des conditios initiales