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#1 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » hexagones convexes distincts d'angles égaux » 19-01-2026 15:36:36
- abel
- Réponses : 1
Soit H(n) le nombre d'hexagones convexes équiangulaires distincts, à côtés entiers, et dont le périmètre est inférieur ou égal à n.
Deux hexagones sont distincts si et seulement s'ils ne sont pas isométriques.
On donne: H(6) = 1, H(12) = 10, H(100) = 31'248.
Que vaut H(300) ?
#2 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Nombres et fonction miroir » 18-01-2026 09:59:36
Bonjour,
Je suis désolé,mais j'ai commis une erreur dans mon énoncé:
il fallait lire 10^12 au lieu de 1012.
#3 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Nombres et fonction miroir » 17-01-2026 21:21:57
- abel
- Réponses : 11
Bonjour, je vous propose le problème suivant:
Soit miroir la fonction qui, à tout entier positif n, associe le nombre obtenu en lisant n de droite à gauche.
Exemples : miroir (12) = 21; miroir (340) = 43.
Soit n un entier positif à k chiffres (k > 1).
Soit F la fonction qui, à tout n, associe le nombre d'entiers pi à k chiffres tels que pi + n = miroir(pi).
Exemples
1) 36 est un nombre à 2 chiffres.
F(36) = 5 car il existe seulement 5 entiers à 2 chiffres tels que pi + 36 = miroir (pi) : 15, 26, 37, 48 et 59.
En effet : 15 + 36 = 51; 26 + 36 = 62; ... ; 59 + 36 = 95.
2) En revanche, F(37) = 0.
Que vaut la somme des F(n) pour n allant de 10 à 10^12 ?
#4 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Une régate de 7 courses de 4 bateaux » 17-01-2026 20:35:09
Bravo pour ta démarche
Tes solutions légèrement remaniées donnent la bonne solution
#5 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Une régate de 7 courses de 4 bateaux » 17-01-2026 16:12:51
Merci pour ta participation et ton soutien ernst.
Malheureusement ce n'est pas la bonne réponse.
Est-ce que tu pourrais m'envoyer tes programmes par mail ou les partager sur le forum
pour que j'essaye de trouver ce qui ne correspond pas aux contraintes fixées par le sujet.
#6 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Une régate de 7 courses de 4 bateaux » 16-01-2026 17:44:44
- abel
- Réponses : 9
Bonjour, je vous propose de cogiter sur ce problème:
Quatre bateaux font une régate. Celle-ci consiste en sept courses.
À l'issue de chaque course, chaque équipage est crédité d'un point s'il termine la course,
plus un point par bateau arrivant après lui.
Il n'y a jamais d'ex-æquo dans une course, mais pour départager d'éventuels ex-æquo au total des points,
la règle stipule qu'un équipage en « devance » un autre si, sur les sept courses, il est arrivé
plus souvent devant l'autre à l'arrivée.
À l'issue d'une telle régate, on a constaté que :
- tous les bateaux ont terminé toutes les courses,
- les équipages A, B et C sont ex-æquo aux points,
- l’équipage A « devance » B, B « devance » C et C « devance » A .
- l’équipage vainqueur D a terminé à toutes les places possibles.
Soient S1, ..., Sk (k>1) les scores totaux possibles de l'équipage D.
On appelle régate une liste (ordonnée) des sept classements aux sept courses.
Exemple : (ABCD), (BCDA), (CDAB), (DABC), (ACBD), (ADBC), (CABD) est une régate.
Il existe donc (4!)^7 = 4'586'471'424 régates.
Soit Ni le nombre de régates respectant toutes les contraintes
et pour lesquelles le score total de l'équipage D est Si.
Que valent les Ni et les Si, pour i allant de 1 à k ?
#7 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » parcours geométriques sur un octogone » 16-01-2026 17:34:56
Bravo Ernst, je n'avais pas pris en compte l'ordre de passage 0-2-0-6-2-0-1-6
et le fait de repasser plusieurs fois par un même sommet.
#8 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » parcours geométriques sur un octogone » 15-01-2026 20:13:42
Je n'ai pas moi même la solution du problème mais le raisonnement suivant me semble être la bonne voie:
-Les chiffres ne servent pas: on peut partir de n'importe quel chiffre.
-le parcours des sommets ne suit pas l'ordre des sommets consécutifs
mais celui ajoutant un nouvel angle minimum.
-Le parcours peut suivre soit l'ordre du sens trigonométrique, soit l'ordre du sens horaire.
Pour le sens horaire, le parcours en suivant les angles minimums est ABHCGDFE soit 12837465
(et les 7 autres permutations circulaires de ce nombre)
Pour le sens trigo, le parcours en suivant les angles minimums est AHBGCFDE soit 18273645
(et les 7 autres permutations circulaires de ce nombre)
les angles ajoutés à chaque fois sont identiques et égaux à l'angle ABH = 22.5° donc M=22.5*6=135°
Cela donne:
M= 135
P= 799999992
M*P= 107999998920
mais ce n'est pas la bonne réponse.
Quelqu'un peut-il compléter mon raisonnement y a t'il d'autre façons de parcourir les 8 sommets en faisant une somme d'angles de M=135°
D'autre part je ne comprends pas pourquoi le parcours donné dans l'énoncé passe deux fois par le point H.
#9 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » parcours geométriques sur un octogone » 14-01-2026 16:17:52
Désolé Ernst, ce n'est pas non plus la bonne réponse.
La somme M des angles doit être minimale (le tracé ne relie pas forcément des sommets consécutifs comme tu le précise dans ta solution)
Donc M est inférieur à 270°.
#10 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » parcours geométriques sur un octogone » 14-01-2026 14:53:17
Désolé, ce n'est pas la bonne réponse.
Tu devrait mettre des traces de debug dans ton code pour localiser le problème.
#11 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » parcours geométriques sur un octogone » 14-01-2026 11:53:48
- abel
- Réponses : 14
Bonjour,
Sur un cercle, on place huit points A, B, C, D, E, F, G et H de telle sorte que ABCDEFGH soit un octogone régulier.
On leur associe respectivement les chiffres 0, 2, 0, 6, 2, 0, 1, 6.
En partant d’un chiffre 0, sans lever le crayon, on trace un parcours de 7 segments différents
qui indique la date du 2 juin 2016 : 0-2-0-6-2-0-1-6.
On forme ainsi six angles dont les sommets sont sur le cercle.
La somme des six angles ne peut être inférieure à une certaine valeur M (en degrés)
qui est effectivement atteinte pour certains parcours.
On associe enfin à chaque parcours un nombre à 8 chiffres : chaque chiffre correspond au rang
de la lettre dans l'alphabet.
Par exemple, au parcours FBCHEAGH, on associe le nombre 62385178.
On note P la somme des nombres associés à tous les parcours ayant une somme d’angles minimale M.
Quelles sont les valeurs de M et P ?
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