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Bonjour et merci pour vos éléments de réponse
Mais la récurrence que M.Roro me demande de montrer n'a pas l'air vraie,Eh bien selon moi
En effet,
on suppose que f existe et elle est strictement décroissante de  [tex] \mathbb{N}[/tex] dans [tex]\mathbb{N}[/tex]
on pose A={f(n),n [tex] \in [/tex] [tex] \mathbb{N}[/tex]}
pour tout n [tex] \in [/tex] [tex] \mathbb{N}[/tex]  f(n)<f(0)  [tex] \rightarrow [/tex] f(n)  [tex] \leq [/tex] f(0),pour tout n [tex] \in [/tex] [tex] \mathbb{N}[/tex]
f(0)  [tex] \in [/tex] A et il est le plus grand élément de A donc f(0) = [tex]sup [/tex] A
d'après la définition de la borne supérieure  [tex] \forall [/tex] n> 0  f(0)-n<f(n) [tex] \leq [/tex] f(0)
on trouve f(0)-n<f(n),ce qui contredit ce que vous m'avez demandé de montrer par récurrence
J'aimerais bien que vous m'aidiez pour la récurrence peut être je suis entrain de faire une erreur,merci!