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La population d'une île vit dans une ville principale ou dans un des villages de campagne.
Des études ont montré que, d'une année sur l'autre:
       -10% de la population de la ville part vivre à la campagne;
       -20% de la population rurale part habiter en ville.
En 2010, 8 000 individus habitaient en ville et 2 000 à la campagne. On suppose que le nombre d'habitants de l'île reste constant au cours des années.
Pour un nombre entier naturel n, on note a_n (resp b_n) le nombre d'individus, en milliers, qui habitent la ville (resp. la campagne) en 2010+n.
On se propose de trouver une formule donnant le nombre d'individus habitant en ville, quelle que soit l'année.

Partie A- Modélisation à l'aide de suites

1) a. Donner a₀ et b₀ puis a₁ et b₁.
( Ici j'ai mis pour a₀=8 000 et b₀=2 000 puis 7 600 pour a₁ et 2 400 pour b₁ )

Maintenant tout se complique :(
b. Montrer que pour tout n de [tex]\mathbb{N}[/tex]:
[tex]\begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}[/tex] avec une matrice carrée A que l'on précisera
Donc ici il faut que je fasse une récurrence ? Mais je n'y arrive pas. La matrice A correspond t-elle aux valeurs de départ ?

c) Démontrer par recurrence que, pour tout n[tex]\ge[/tex]1:
[tex]\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}[/tex]=Aⁿ[tex]\begin{pmatrix}a_{0}\\b_{0}\end{pmatrix}[/tex]

2) P=[tex]\begin{pmatrix}-1&2\\1&1\end{pmatrix}[/tex]

a) Avec un logiciel de calcul formel (Calculatrice), montrer que:
P^-1[tex]\times[/tex]A[tex]\times[/tex]P=D où D=[tex]\begin{pmatrix}\lambda_{1}&0\\0&\lambda_{2}\end{pmatrix}[/tex] avec [tex]\lambda_{1}[/tex]et [tex] \lambda_{2}[/tex] des nombres réels que l'on précisera.
b) En déduire que A=PDP^-1, puis, par récurrence que, pour tout n[tex]\ge[/tex]1:
Aⁿ=P[tex]\begin{pmatrix}\lambda_{1} ^n&0\\0&\lambda_{2} ^n\end{pmatrix}[/tex]
c) En déduire une expression de Aⁿ en fonction de n.

Partie B- Nombre de citadins

a) Utiliser la partie A pour exprimer [tex]a_{n}[/tex], puis [tex]b_{n}[/tex] en fonction de n.

Bon b franchement je n'ai absolument rien compris... Le peu d'exercices que nous avons fait en mêlant suite et matrice furent relativement simple mais là je bloque complètement.
Merci de bien vouloir m'aider.