Forum de mathématiques - Bibm@th.net

je commence par la dernière remarque, j'ai admis m'être trompé dans la formulation de l'inégalité ( j'ai mis large des 2 cotés!)

et on a bien en appliquant la définition de la partie entière: [tex]E(x)\leq x\lt E(x)+1[/tex]

en introduisant l'entier k (cas pair), et d'après la résolution de l'équation en 1ère phase : [tex]E(\frac{2k+1}{2})= k[/tex] (1)on a :

[tex]E(\frac{2k+1}{2})\leq \frac{2k+1}{2}\lt E(\frac{2k+1}{2})+1[/tex]

d'où : [tex]k\leq \frac{2k+1}{2}\lt k+1[/tex] ou encore [tex]2k\leq \ 2k+1\lt 2k+2[/tex] et on peut même s’arrêter ici en remarquant que cette inégalité est vraie pour tout entier relatif sinon on peut aussi aboutir à (en décalant 2k au centre) : [tex]0\leq \ 1\lt 2[/tex]

et conclure pour le cas x pair que la proposition en question est vraie (idem pour x impair)

ps: on peut egalement resoudre l'equation (1) en utilisant la propriété [tex]E(x+n)=E(x)+n[/tex] d'où :[tex]E(\frac{2k+1}{2})= k[/tex]

[tex]k + E(0,5)= k[/tex] et donc [tex]k+ 0= k[/tex] ainsi k = k
cdt