Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Suis-je le seul à avoir un problème avec l'affichage des exercices et de leurs corrections ?
Pour n'importe quelle page, il y a uniquement les titres qui s'affichent puis : [exo=12993][exo=..]...

Merci d'avance,

Jimmy

Bonjour,

Après plusieurs recherches sur le net et les livres que j'ai à ma disposition, je n'arrive pas à résoudre cet exercice qui me semble pourtant simple si je comprenais la formule de changement de repère...
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment fait-on pour passer d'un point [tex]X=(x,y,z)[/tex] d'un repère [tex]\mathcal{R}[/tex], à ses coordonnées [tex]X' = (x',y',z')[/tex] dans un autre repère [tex]\mathcal{R}'[/tex] svp ?

Merci d'avance :)

Jimmy

Bonjour,

Je suis actuellement en révisions pour mes rattrapages, et un des sujets me pose problème, du moins la dernière question...
Je mets l'énoncé complet et la totalité de mes réponses pour être sur que le reste soit bon, si quelqu'un avez la gentillesse de m'aider cela m'aiderait beaucoup.

On dispose de 1000 objets qui ont chacun une probabilité de [tex]\dfrac{1}{100}[/tex] d'être défectueux. On suppose les objets indépendants et on note X le nombre d'objets défectueux.

1) Quelle est la loi de X ? Par quelle loi peut-on l'approximer ?

L'épreuve suit un schéma de Bernouilli de succès "être défectueux" de probabilité [tex]p = \dfrac{1}{100}[/tex].
Les objets étant indépendants, et X comptant le nombre de succès, on en déduit que X suit une loi Binomiale de paramètres [tex]p = \dfrac{1}{100}[/tex] et [tex]n = 1000[/tex].
Ainsi : [tex]\forall~k = \{0,\cdots, 1000\}, P(X = k) = \binom{1000}{k}\left(\dfrac{1}{100}\right)^k\left(1 - \dfrac{1}{100}\right)^{1000 - k}[/tex].
Comme [tex]n = 1000 \geqslant 30, np = 10 < 15, p = 0,01 \leqslant 0,1[/tex], on peut approximer la loi de X par une loi de Poisson de paramètre [tex]\lambda = np = 10[/tex].

2) En utilisant l'inégalité de Markov, donner une majoration de la probabilité [tex]P(X \geqslant k)[/tex] avec [tex]k \geqslant 1[/tex].

[tex]\forall~k > 0, P(X \geqslant k) \leqslant \dfrac{E(X)}{k}[/tex].
L'espérance d'une loi Binomiale étant [tex]E(X) = np[/tex], on a [tex]E(X) = 10[/tex].
Ainsi [tex]P(X \geqslant k) \leqslant \dfrac{10}{k}[/tex].

3) En utilisant l'inégalité de Bienaymé Tchebychev, donner une autre majoration de [tex]P(X \geqslant k)[/tex].

[tex]\forall~k > 0, P(\vert X - E(X)\vert \geqslant k) \leqslant \dfrac{\text{Var}X}{k^2}[/tex].
On a donc :
[tex]\begin{align*}P(X \geqslant k) &= P(X - E(X) \geqslant k - E(X))\\
&=P(\vert X - E(X)\vert \geqslant k - E(X))\\
&= P(\vert X- 10\vert) \geqslant k - 10)\\
&\leqslant \dfrac{9,9}{(k - 10)^2}
\end{align*}
[/tex]
Pour cette dernière question je sais que j'ai faux ; j'ai testé avec un autre exercice et la majoration n'est pas vérifiée mais je ne comprends pas comment faire autrement...

Merci d'avance :)

Bonjour,

Je commence à comprendre comment déterminer une base duale, antéduale... lorsque nous sommes dans un cas [tex]\K^n[/tex], et dont on connait une valeur fixé de [tex]n[/tex]. Par contre, lorsqu'on me pose la même question avec [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] rien ne va plus...
Par exemple :

Soit [tex]E = K_{n - 1}[X][/tex], on définit [tex]\Delta P : E \rightarrow E[/tex] par [tex]\Delta P = P(X+1)-P(X)[/tex], et pour [tex]k \in \{0, \cdots, n - 1\}[/tex] une forme linéaire [tex]\phi_k \in E^*[/tex] par [tex]\phi_k(P) = (\Delta^k(P))(0)[/tex].
1) Montrer que [tex](\phi_0, \cdots, \phi_{n -1})[/tex] est une base de [tex]E^*[/tex].
2) Trouver la base de E dont ([tex]\phi_0, \cdots, \phi_{n - 1})[/tex] est la base duale.

1) dim[tex]E[/tex] = dim[tex]E^*[/tex] = dim[tex](\phi_0, \cdots, \phi_{n - 1})[/tex] donc il suffit de montrer que [tex](\phi_0, \cdots, \phi_{n-1})[/tex] est libre.
[tex]\forall a_i, i = \{0, \cdots, n-1\}[/tex] : [tex]a_0\phi_0(P) + \cdots + a_{n - 1}\phi_{n - 1}(P) = 0[/tex].
Or, un polynôme est nul si tous ses coefficients sont nuls donc si [tex]a_0 = \cdots = a_{n - 1} = 0[/tex].
donc [tex](\phi_0, \cdots, \phi_{n - 1})[/tex] est libre et est donc une base de [tex]E^*[/tex].

2) Là je suis bloqué...
Si [tex]n[/tex] est fixé, je sais comment faire : par exemple, si [tex]n = 2[/tex], je chercherai la matrice de passage [tex]P[/tex] de la base canonique à [tex](\phi_0, \phi_1, \phi_2)[/tex], puis je calculerai [tex]{}^tP^{-1}[/tex] et je prendrais les lignes de cette matrice, mais ici aucune idée...

Merci d'avance pour l'aide qui sera apporté, désolé de poser tant de questions en ce moment sur le forum...

Bonjour,

Les exercices comportant des [tex]n[/tex] dans les intervalles me posent problème... Pouvez-vous me dire si ce que je fais est bon svp ?

On considère [tex]f_n(x) = \left\{\begin{matrix}nx - \dfrac{1}{n} & \text{si $x \in [0,\dfrac{1}{n}]$}\\1 - x & \text{si $x \in [\dfrac{1}{n},1]$}\end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n} = 0[/tex], donc si [tex]x = 0[/tex] alors [tex]\lim_{n \to + \infty} f_n(x) = 0[/tex]
Si [tex]x = 1[/tex] alors [tex]\lim_{n \to + \infty} f_n(x) = 0[/tex]
Pour tout [tex]0 < x < 1[/tex], il existe [tex]n_0 \in \mathbb{N}^{*}[/tex] tel que [tex]x > \dfrac{1}{n_0}[/tex].
[tex]n \geqslant n_0 \Rightarrow \dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{1}{n_0} < x[/tex] et donc [tex]\lim_{n \to + \infty} f_n(x) = 1 - x[/tex].
Donc [tex](f_n)[/tex] converge simplement vers [tex]f(x) = \left\{\begin{matrix}0 & \text{si $x = 0$}\\1 - x &\text{si $0 < x < 1$}\\0 & \text{si $x = 1$}\end{matrix}\right.[/tex]

Est-ce bien ça ?

Merci d'avance