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Soit $(f_n)$ une suite de $B$ telle que $f_n\to f$ dans $L^1([0,1])$.
Alors il existe une sous-suite $(f_{n_k})$ telle que
\[
f_{n_k}(x)\to f(x)
\quad \text{p.p. sur } [0,1].
\]
Donc
\[
|f_{n_k}(x)|^2\to |f(x)|^2
\quad \text{p.p.}
\]
Par le lemme de Fatou,
\[
\int_0^1 |f|^2
\leq
\liminf_{k\to+\infty}\int_0^1 |f_{n_k}|^2.
\]
Or $f_{n_k}\in B$, donc $\|f_{n_k}\|_2\leq 1$, d'où
\[
\int_0^1 |f_{n_k}|^2\leq 1.
\]
Ainsi
\[
\int_0^1 |f|^2\leq 1.
\]
Donc $f\in L^2([0,1])$ et $\|f\|_2\leq 1$, c'est-à-dire $f\in B$.

Par conséquent, $B$ est fermé dans $L^1([0,1])$.