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Bonjour,

Voici un exercice que je ne comprends pas. Quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plaît ?

Merci!
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L'irrationalité de √2 semble avoir été découverte par les pythagoriciens. La démonstration proposée ci-dessous est très voisine de celle d'Euclide dans son ouvrage intitulé Eléments.

Commençons par quelques définitions :
- Deux entiers a et b sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1
- Une fraction a/b est irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux
- Soit a et b deux entiers naturels. Il existe un unique couple d'entiers naturels (q,r) tel que :
a = b.q + r
0≤ r < b

Démontrons maintenant par quelques lemmes :

1)    Montrer que tout entier naturel p s’écrit sous la forme 2k ou 2k + 1où k est un entier naturel.
2)    a) Expliquer pourquoi si p est pair, alors il existe un nombre entier k tel que p = 2.k
b) Montrer que si p est un nombre pair, alors p² est pair
c) Que peut-on en déduire si p² est impair
      3) a)  Expliquer pourquoi si p est impair, alors il existe un nombre entier k tel que p = 2.k + 1
    b) Montrer que si p est impair, alors p² est impair aussi.
    c) Que peut-on en déduire si est p² pair ?

Résolution du problème de l’irrationalité de √2 (en utilisant les lemmes qu’on a démontrés) :
Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe une fraction irréductible p/q telle que √2 = p/q, avec p et q entiers.

    4) a) Expliquer pourquoi alors p² = 2.q²
        b) En déduire que p est pair.
    5) Posons p = 2.p’
        Expliquer pourquoi : q² = 2.p’². En déduire que q est pair.
    6) Où est la contradiction ?
         Quelle conclusion peut-on en tirer ?