Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous,
J'aurais une question sur l'exercice suivant (exercice 40, limites, maths sup) :

Soit f : R+ -> R continue et surjective.
Démontrer que 0 admet une infinité d'antécédents par f.

Est-il possible de faire cet exercice par récurrence ?

En posant Pn : "Pour n >=1, il existe un intervalle [0,x0] sur lequel 0 admet au moins n antécédents"

L'initialisation (cas n =1) est vérifiée par surjectivité de f.

Pour l'hérédité, on pars de l'hypothèse de récurrence : Il existe un intervalle [0,x0] sur lequel f admet au moins n antécédents. Par continuité de f, f est bornée et atteint ses bornes sur [0,x0]. On note m et M respectivement le minimum et le maximum de f sur [0,x0].

2 cas à traiter :

1) f(x0) > 0 (ou f(x0) < 0) :

Par surjectivité de f, pour tout y < m <= 0, il existe x > x0 tel que f(x) = y < 0. Le théorème des valeurs intermédiaires nous assure alors de l'existence de c dans [x0, x] tel que f(c) = 0. Il existe donc un intervalle [0,c] sur lequel 0 admet au moins (n+1) antécédents par f. Le cas f(x0) < 0 se démontre de la même façon (aux signes près).

2) Comment traiter rigoureusement le cas f(x0) = 0 (avec x0 qui fait parti des n antécédents) ? Est-ce que je peux dire "Alors soit f est nulle sur un intervalle [x0, x0 + epsilon], auquel cas f admet  une infinité d'antécédents, soit f change de signe et on revient alors au cas précédent".

On obtient alors que pour tout n >= 1, il existe un intervalle [0,x0] sur lequel 0 admet au moins n antécédents, ce qui implique que 0 admet une infinité d'antécédents.

La "démonstration" (si elle en est-une) est-elle juste ?

Merci à vous.

PS : Je sais que l'on peut traiter cet exercice différemment, en raisonnant par l'absurde, mais je souhaite savoir si cette méthode marche également (et surtout pourquoi elle ne marche pas, dans le cas contraire).

Bonsoir,

Considérez 2 fonctions f et g telles que :

lim f(x) ≠ 0 et lim g(x) = 0 lorsque x tend vers un réel a dans I .

Pourquoi est-ce faux de dire, partant de ces seules hypothèses : Alors lim |f(x)| / g(x) = +∞
?

J'ai supposé que c'était vrai et l'ai utilisé pour une "démonstration" (qui n'en est donc pas une) mais il s'avère que cette affirmation est fausse et je n'arrive pas à comprendre pourquoi.

Merci à vous.