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Je te remercie pour ta patience, Michel.
Je récapitule, on est dans la deuxième question, (a).

1°) pour i < j , p(X1 =i | X2 = j) = p(X1 = i ; X2 =j) / p(X2 = j)
      avec p(X1 = i ; X2 =j) = 2 / n²
      et p(X2 = j) = somme de i=1 à n de (p(X1 = i ; X2 =j))
                        = somme de i=1 à j-1 de (p(X1 = i ; X2 =j) + (p(X1 = j ; X2 =j)) + somme de i=j+1 à n (p(X1 = i ; X2 =j)

2°)
3°) p(X1 = j ; X2 =j) = 1/n²
4°) pour i > j (soit i >= j+1), on a p(X1 = i ; X2 =j) = 0.
5°) On récapitule le 2°):
      p(X2 = j) = (j-1)*(2/n²) + 1/n² + 0 = (2j-1)/n²
      donc, pour i < j , on a: p(X1 = j | X2 =j) = (2/n²)/((2j-1)/n²) = 2/(2j-1).

Peux-tu s'il te plait corriger étape par étape, comme tu l'as fait dans ton dernier post ?
Merci d'avance.
Eric Lapeyres

Bonjour Michel.
Je suis désolé de te décevoir mais je sèche, je nage.
Je récapitule: j'en suis à la deuxième question, 2ème et 3ème cas.

Pour le 2ème cas (i < j), je trouve p(X1 = i | X2 = j) = 1 / (j-1).

Pour le 3ème cas (i = j), je trouve p(X1 = i | X2 = i) = 1 / (2i-1) = 1 / (2j-1).

Merci pour ton aide.

Eric Lapeyres

Ok, je reprends le calcul du cardinal de { X2 = j }:
{ X2 = j } = réunion pour i de 1 à n de { X1 = i ; X2 = j }
                = réunion pour i de 1 à j de { X1 = i ; X2 = j } U { X2 = j ; X1 = i }

d'où card ({ X2 = j }) = somme pour i=1 à i=j (card({ X1 = i ; X2 = j }) + somme pour i=1 à i=j-1 (card({ X2 = j ; X1 = i })
                                 =  j + (j-1) = 2j-1

d'où, toujours pour le cas (Deuxième question - (a) - 2ème cas i<j ),
p({ X2 = j }) = (2j-1)/n²

et p(X1 = i | X2 = j) = p( X1 = i ; X2 = j ) / p({ X2 = j}) = (2/n²) / ((2j-1)/n²) = 2 / (2j-1)

Si cela était juste, il me resterait à traiter le cas (Deuxième question - (a) - 3ème cas i=j ).

Et je pense qu'il faudrait que p( X1 = i | X2 = i) soit égal à (2i-3) / (2i-1).

C'est laborieux !

Merci Michel.
Je te remercie pour ton sens de la pédagogie.
Je vois bien qu'il y a quelque chose qui cloche mais je ne vois pas quoi.
En effet, si l'on en croit ce que j'ai écrit, somme sur i des probabilités conditionnelles pour i allant de 1 à n =
somme sur i allant de 1 à n (p(X1 = i  | X2 = j)) =
somme sur i allant de 1 à j-1 (p(X1 = i  | X2 = j) + p(X1 = i | X2 = i) =
somme sur i allant de 1 à j-1 (1/(j-1)) + (1/(2j-1)) =
(j-1)/(j-1) + 1/(2j-1) =
2j/(2j-1) > 1.

Et là, je bloque.
Il y aurait bien quelque chose:
Il faudrait, comme c'était écrit dans mon premier envoi:
https://drive.proton.me/urls/5MPBE96F1G#c9utmh4MNunr.

Dans le 2ème cas (i<j): p(X1 = i | X2 = j) = 2 / (2j-1) (mais comment y arriver ?).
Et dans le 3ème cas (i=j): p(X1 = i | X2 = i) = 1 / (2j-1).
D'où la somme sur i des probabilités conditionnelles pour i allant de 1 à n qui vaudrait là 1.

Je sèche.

Bonjour Michel Coste, bonjour à tous.
Merci Michel pour ta patience et ta rapidité de réponse.
Je suis ok pour la première question.

J'ai essayé de comprendre la solution de la deuxième question.
Je comprends à peu près tout (normal, il n'y a que des calculs) sauf,
dans le (a) - 2ème cas, l'égalité entre p( X1 = i ; X2 = j ) et 2 / (n*(n-1)).

J'essaie de deviner mais je ne comprends pas.
J'essaie de deviner que card (X1(Oméga)) = n-1 ou card(X2(Oméga)) = n-1 .

Merci d'avance pour votre aide.
Eric Lapeyres.

Les issues qui appartiennent à l'événement { X1 = i , X2 = j } pour i > j  sont les issues où
X1 = i est le plus petit numéro tiré, X2 = j est le plus grand numéro tiré et X1 > X2.
Or, X1 est plus petit que X2. donc p { X1 = i , X2 = j } =0 pour i > j .

Dit autrement, dans le tableau du corrigé, l'événement { X1 = i , X2 = j } pour i > j  correspond aux éléments situés
sur le triangle supérieur droit du tableau, diagonale exclue et ces éléments sont nuls.

Eric Lapeyres

Bonjour Michel Coste et merci pour la rapidité de ta réponse.

Pour commencer par les cas les plus faciles:
- si 1 <= i <= n, l'événement { X1 = i, X2 = i} rassemble les cas (1 ; 1), (2 ; 2), ... , (i ; i), ... , (n ,n);
  il y a n cas ainsi constitués ;
- si 1 <= j < i <= n, l'événement { X1 = i, X2 = j } rassemble les cas situés sur le triangle supérieur (diagonale exclue) ;
  il y a (n - 1)*(n -1) cas ainsi constitués et p(X1 = i, X2 = j) = p( X1 > X2) = p( le plus petit numéro soit plus grand que le plus grand) = 0;
- si 1 <= i < j <= n, l'événement { X1 = i, X2 = j } rassemble les cas situés sur le triangle inférieur (diagonale exclue) ;
   il y a (n - 1)*(n -1) cas ainsi constitués, ils sont équiprobables, donc:
Somme [ (p(X1 = i, X2 = j), pour 1 <= i < j <= n ] = 1, d'où a*(n-1)*(n-1) = 1
et a = 1 / (n-1)*(n-1)

Je suis un peu perdu.
Merci pour le temps consacré à ce problème.
Eric Lapeyres