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#1 Re : Entraide (supérieur) » Aide concernant la dérivation de fonction vectorielles/matricielles » 19-01-2025 22:59:24
Merci beaucoup des efforts que tu as déployé je crois avoir compris et c'est beaucoup plus propre comme ça !
#2 Re : Entraide (supérieur) » Aide concernant la dérivation de fonction vectorielles/matricielles » 19-01-2025 16:40:15
Bonjour Eustache,
Merci pour ta réponse [tex]n_x[/tex] et [tex] n_p [/tex] désignent la taille de [tex] x [/tex] et [tex] p [/tex] effectivement et sont donc constants. Un tenseur d'ordre 3 est de la forme [tex]c_{ijk}[/tex] où dans mon cas particulier [tex] c_{ijk} = \frac{\partial a_{ij}(p)}{\partial p_k}|_{p0}[/tex]
Pour le coup la dérivée de l'application [tex] A : p \mapsto A(p) [/tex] n'est pas de la même dimension que A. En l'occurence la dérivée partielle par rapport au [tex] k-ième [/tex] élement de [tex] p [/tex] est :
[tex] \left. \frac{\partial A(p)}{\partial p_k} \right|_{p_0} : \mathbb{R}^{n_2} \mapsto M_{n_1}(\mathbb{R}) [/tex]
Donc se serait plus juste de parler de ""gradient"" puisque la dérivée partielle de [tex] A(p) [/tex] par rapport à [tex] p [/tex] serait une application :
[tex] \left. \frac{\partial A(p)}{\partial p} \right|_{p_0} : \mathbb{R} ^{n_2} \mapsto \left( M_{n_1}(\mathbb{R}) \right)^{n_2} [/tex]
où l'ensemble d'arrivée est le produit cartésien de chaque k-ième ensemble d'arrivée de la k-ième dérivée partielle. Mais je ne sais pas quel outil on utilise pour cela (tenseur ?).
En pratique il suffit de multiplier chaque dérivée partielle évaluée en [tex] p_0 [/tex] par [tex] x_0 [/tex] pour obtenir des vecteurs colonnes qu'on assemble pour obtenir la dérivée partielle de [tex] f = A(p) x [/tex] par rapport à [tex] p [/tex] mais je veux bien de l'aide pour le comprendre et le formaliser mathématiquement.
Je dirai que
[tex] \left. \frac{\partial f}{\partial p} \right|_{p_0,x_0} = \left( \left. \frac{\partial A(p)}{\partial p_1} \right|_{p_0} \oplus \left. \frac{\partial A(p)}{\partial p_2} \right|_{p_0} \oplus \cdots \oplus \left. \frac{\partial A(p)}{\partial p_{n_2}} \right|_{p_0} \right) x_0 [/tex]
#3 Re : Entraide (supérieur) » Rang de matrices » 19-01-2025 11:52:48
Bonjour,
Je crois que le principe même soit que une matrice nulle de taille [tex] m \times n [/tex] en bas à gauche et [tex] n \times m [/tex] en haut à droite de manière à ce qu'il y'ai pas de regroupement ils veulent juste que M soit diagonale par blocs.
Ensuite tu raisonne sur le noyau et tu montres que [tex] M X = 0_{n+m} \Leftrightarrow (A X = 0_n) \wedge (B X = 0_m) [/tex], les noyaux de A et B sont orthogonaux donc la dimension du noyau de M est la somme des dimensions des autres noyaux par théorème du rang le rang de M est égal à la somme des rangs de A et de B.
Si je me trompe et qu'il y a chevauchement avec M de taille [tex] p [/tex] par exemple, de manière analogue tu aurais [tex] rang(M) = rang(A) + rang(B) [/tex] si [tex] p \ge m + n [/tex]. Dans les autres cas tu t'intéresses au bloc qui se chevauche qui est lui de taille [tex] m + n - p [/tex] tant que [tex] m+n \ge p \ge max(n,m) [/tex]. Et tu traites le pire cas (le chevauchement supprime des dimensions de A et de B) et le meilleur cas (le chevauchement ajoute des dimensions à A et B) puis tu raisonnes sur les conséquence sur le rang de M pour lui donner un encadrement.
#4 Re : Entraide (supérieur) » Aide concernant la dérivation de fonction vectorielles/matricielles » 18-01-2025 14:48:45
Me frappez pas pour mes notations s'il vous plait, le nombre de lignes en dessous correspond à l'ordre du tenseur
#5 Entraide (supérieur) » Aide concernant la dérivation de fonction vectorielles/matricielles » 18-01-2025 14:44:56
- gab666
- Réponses : 5
Bonjour,
J'aurai besoin d'aide concernant la dérivation d'une application linéaire et sur le calcul tensoriel. J'ai une fonction du type
[tex]\underline{g}(\underline{x},\underline{p}) : \mathbb{R}^{n_x} \times \mathbb{R}^{n_p} \to \mathbb{R}^{n_x}[/tex]
Et plus particulièrement sous la forme :
[tex]\underline{g}(\underline x, \underline p) = \underline{\underline{A(\underline p)}} \underline x - \underline h(\underline x, \underline p)
[/tex]
Avec h(x,p) un vecteur dépendant explicitement de x et de p. Je cherche à obtenir la dérivée partielle de g(x,p) par rapport à p, ce qui devrait donner une matrice/tenseur d'ordre 2. Par règle de chaîne on a bien :
[tex]\underline{\underline{\left(\frac{d \underline g}{d \underline p}\right)}} =\underline{\underline{\underline{\left( \frac{\partial \underline{\underline{ A(\underline p))}}}{\partial \underline p} \right)}
}} \underline{x} - \underline{\underline{ \left(
\frac{\partial \underline{h(\underline x, \underline p)}}{\partial p} \right) }}[/tex]
Donc j'ai un tenseur d'ordre 3 fois un vecteur à gauche et une matrice à droite; Ma question étant comment j'applique l'opération entre le tenseur d'ordre 3 et mon vecteur x ? je suppose que le résultat est de taille [tex]n_x \times n_p[/tex] et que chaque colonne de la matrice dans le terme de gauche est égal à [tex] \frac{\partial A}{\partial p_i} \underline X[/tex] qui pour le coup marche, est-ce que ça vous semble correct mon abomination ? (en soi ça peut être vu directement en remplacant Ax par y et en faisant apparaître les aij)
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