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#1 Entraide (supérieur) » Application linéaire » 08-08-2024 11:45:02
- petitponey
- Réponses : 5
Bonjour, je bloque sur l'exercice suivant :
Soient E, F et G trois espaces vectoriels, f : E -> G et g : E -> F deux applications linéaires. Montrer qu'il existe h : F -> G telle que $f = h \circ g$ ssi $Ker(g) \subset Ker(f)$.
Le sens indirect de l'équivalence est immédiat, mais je sèche totalement sur le sens direct. J'ai l'impression qu'il s'agit de construire une application linéaire h de la forme $f \circ \phi$ où $\phi : F \rightarrow E$ linéaire ferait en sorte de "laisser intact le plus possible" les éléments de E lorsqu'on la compose à droite par g (en bref, je veux faire en sorte que $\phi \circ g$ agisse presque comme l'identité).
Des indications ? Merci d'avance
#2 Re : Entraide (supérieur) » Equivalent, suite » 04-08-2024 18:15:41
Oui en effet votre première réponse a suffit pour que je pense directement au théorème de la bijection ! On obtient alors par continuité de $f^{-1}$ en 0, $f^{-1}(f(\frac{a_n}{n})) \rightarrow 0$ i.e. $\frac{a_n}{n} \rightarrow 0$ et on conclut effectivement avec un DL.
Merci infiniment pour votre réactivité et désolé pour les réponses lentes de mon côté ^^
#3 Re : Entraide (supérieur) » Equivalent, suite » 04-08-2024 16:37:18
Bonjour,
Merci beaucoup pour votre réponse ! J'ai reformulé la limite que j'avais obtenu en $\ln(1+\frac{a_n}{n}) - \frac{a_n}{n} \rightarrow 0$. L'étude de la fonction que vous m'avez proposé donne $\forall x > -1, \ln (1+x) \leq x$ avec égalité ssi x = 0. Mais je ne vois pas comment montrer que nécessairement $x \rightarrow 0$ si $\ln(1+x) - x \rightarrow 0$...
#4 Entraide (supérieur) » Equivalent, suite » 03-08-2024 22:54:33
- petitponey
- Réponses : 12
Bonsoir,
Voici l'exercice sur lequel je bloque depuis une treintaine de minutes :
Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs ou nuls.
Montrer que : $(1+\frac{a_n}{n})^n \sim e^{a_n} \iff a_n = o(\sqrt{n})$.
J'ai établi le sens réciproque à l'aide d'un DL à l'ordre 2 à l'origine de ln(1+x), mais je n'arrive pas à avancer pour le sens direct : j'ai seulement obtenu le fait que $n ln(1+\frac{a_n}{n}) - a_n \rightarrow 0$....
Toute indication est donc la bienvenue, merci d'avance !
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