Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir!
Pour commencer je vais répondre à chacune de vos questions Wiwaxia .
1. Tout d'abord tout le monde connait ce que c'est la conjecture de Syracuse,et il m'est paru moins important de spécifier l'opération sous-jacente. Même si c'est un peu subjectif,je dois avouer que dans ce forum on connait c'est quoi collatz conjecture.
2. Là c'est une erreur de frappe. La vraie phrase était plutôt presque absents. Néanmoins cela n'affecte en rien notre analyse du problème comme nous allons le voir.
3. Concernant les notations ensemblistes,oui,ce sont bels et bien les ensembles usuels. J'ai oublié de charger les codes.
Je vais expliquer ce que ce papier fait.
Tout d'abord,on sait que diverses tentatives de la résolution de la conjecture de collatz sont faites chaque jour par des amateurs qui pensent en venir à bout. Cela a suscité un grand scepticisme dans la communauté mathématique,surtout aux vues des différents travaux pointus de différents auteurs (Jeffrey Lagarias, Alexandre Kontorovich,Terence Tao,etc.) Dans le milieu extra scientifique(amateurs,etc.) on s'attelle à étudier différents sous-ensembles de l'ensemble des entiers à travers des relations de congruence et des estimations des densités asymptomatiques. Ce premier niveau a déjà été exploité par plusieurs auteurs(Richard Crandall,Franco, Jeffrey Lagarias,...) et a montré ses limites. D'ailleurs c'est la première des choses que les mathématiciens examinent(Journaux,revues) dans les soumissions qui leurs sont faites souvent. Il va de soi que devant une telle apparence de chaos dans la distribution des termes de cette application (3x+1),on adopte une approche probabiliste, même si l'on sait que les suites de Collatz ne sont que pseudo-aléatoires.  C'est ce point de vue qui a été fécond en découvertes du comportement de ces suites et de leurs généralisations. Le papier de Terence qui a en un coup amélioré le résultat de I.Krasikov avec Jeffrey Lagarias sur la densité asymptomatique des sous-ensembles des entiers naturels vérifiants la conjecture,a en même temps sonné le glas contre toute tentative d'amateurs de la résolution de cette conjecture tenace. Article d'ailleurs trop technique.
L'approche naturaliste n'est pas a exclure totalement. Si on l'a trop souvent délaissé dans le milieu mathématique,ce n'est que parce qu'on est jamais parvenu à exploiter le lien de cette conjecture avec d'autres branches des mathématiques. Dans la recherche mathématique,c'est souvent  ces liens qui permettent de faire des miracles.

Conjecture de collatz : point de vue de la théorie des systèmes dynamiques

On sait en quoi un système dynamique conservatif diffère d'un système dissipatif: le système conservatif est caractérisé par l'invariance par renversement temporel de son équation d'évolution ,alors que cette propriété est violée par le système dissipatif. Et cela on le sait,à cause de l'amortissement qui y existe en son sein. Intuitivement ,on peut voir collatz comme un système dissipatif. Comment ?  On pense ainsi du fait que si on prend un terme quelconque d'une orbite de collatz d'un entier N,on peut appliquer la fonction de Collatz inverse et dépasser l'entier N. C'est d'ailleurs cette propriété qui est à la base de la construction de l'arbre de Collatz et de la reformulation inverse,en ce sens qu'en partant de 1-2-4,on pourrait passer par tous les entiers.
Donc Syracuse serait dissipatif,et l'amortissement sûr à 100%.  Cela conduit à affirmer que la convergence vers le cycle trivial (l'attracteur dans notre cas est 1) est assurée ,et que cette propriété peut être démontrée par Induction mathématique.
Mais avant cela il nous faut élaborer une approche différente. Il ne faut plus voir les entiers comme acteurs en scène dans ces suites. Ces nombres ont des propriétés en commun, autrement dit ils appartiennent à des groupes bien distincts et suivent un destin tout tracé.

On veut démontrer une propriété que tous ces entiers vérifient. Mais pas directement sur eux,il nous faut un bouc émissaire. Un truc semblable a ce qui se fait en théorie des catégories. On transforme des objets en d'autres objets à travers les foncteurs et on les étudies. Mais nous n'allons pas trop loin. On reste dans l'ensemble des entiers toujours. Notre transformation va s'opérer au niveau des classes d'équivalence. Et nos classes d'équivalence n'ont rien à voir avec ce que vous connaissez déjà. Ces classes sont construites à partir des relations des termes des orbites transformées avec les Multiples pairs de 6,comme c'est bien précisé dans le corps de l'article. La transformation des suites est nécessaire pour la preuve. Si on prend par exemple la suite de Collatz de 7={7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,...} et qu'on la multiplie par 3 on trouve {21,66,33,102,51,156,78,39,120,60,30,15,48,24,12,6,3,...}.  C'est juste une bijection de l'ensemble des entiers sur l'ensemble des multiples pairs de 3. Mais nous n'aurons qu'à considérer les orbites de Syracuse (les impairs) ,et donc ce sera sur l'ensemble des multiples impairs de 3. La règle U(n+1)=3U(n)+1 si U(n) impair et U(n+1)=U(n)/2 si U(n) pair devient dans ce cas 3U(n+1)=[3(3U(n))+3]/2^a pour Les termes des orbites de Syracuse . Où a est la valuation 2-adique de 3(3U(n+1))+3 C'est ce terme entre parenthèses qui traduit la bijection ci-haut.
Et donc toute propriété de convergence vers le cycle trivial 4 2 1 est traduite en convergence vers le cycle trivial 12,6,3 pour les suites transformées. Et démontrer que l'application 3x+3 admet le cycle 12,6,3 revient à prouver collatz. C'est ce que nous avons fait. En développant un peu plus loin cette approche ,on traite aussi du problème général qx+1(q>3,impair). Pour plus de détails,je suis là.