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Bonjour,

À la lecture d'un ouvrage en mathématiques appliquées, je suis tombé sur cette propriété (qui est utilisée dans une preuve) :

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\begin{equation*}
    \forall(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb R^n,\;\left(\sum_{i=1}^n\alpha_i\right)^2\leqslant2\sum_{i=1}^n\alpha_i^2
\end{equation*}
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Inégalité que je n'arrive pas à prouver. J'ai quand même essayé certaines choses, on peut déjà commencer par développer le terme de gauche :
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\begin{equation*}
    \left(\sum_{i=1}^n\alpha^i\right)^2=\sum_{i=1}^n\alpha_i^2+2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}\alpha_i\alpha_j
\end{equation*}
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L'inégalité que l'on cherche à prouver peut ainsi aussi s'écrire :

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\begin{equation*}
    \forall(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb R^n,\;2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}\alpha_i\alpha_j\leqslant\sum_{i=1}^n\alpha_i^2
\end{equation*}
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Par application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux vecteurs $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\text{ et }(1,\ldots,1)\in\mathbb R^n$, nous avons aussi :
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\begin{equation*}
    \left(\sum_{i=1}^n\alpha_i\right)^2\leqslant n\sum_{i=1}^n\alpha_i^2
\end{equation*}
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J'ai aussi tenté en vain une récurrence sur $n$. Si vous avez des idées pour résoudre cela, je suis tout ouïe.