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Bonjour,
Merci pour ce problème qui m'a replongé dans la factorisation des polynômes sur un corps fini...
Voilà le résultat de mes "élucubrations":
   
    La factorisation sur  $\mathbb{F}_{p}$ :
$x^2+y^2+z^2=(a_{0}.x+b_{0}.y+c_{0}.z).(a_{1}.x+b_{1}.y+c_{1}.z)$
avec $a_{i},b_{i},c_{i}$ $\in {F}_{p}$ pour $i=0,1$
impliquerait nécessairement :
$a_{0}.a_{1}=1$, $b_{0}.b_{1}=1$, $c_{0}.c_{1}=1$  et  $a_{i}, b_{i},c_{i} \neq O$ 
(exemple : sur $\mathbb{F}_{5}$, on a $2.3=1$ et $3^{-1}=2)$
et aussi :
$a_{0}.b_{0}^{-1}+b_{0}.a_{0}^{-1}=0$, $a_{0}.c_{0}^{-1}+c_{0}.a_{0}^{-1}=0$, $b_{0}.c_{0}^{-1}+c_{0}.b_{0}^{-1}=0$ \\
$a_{0}^{-1}b_{0}^{-1}(a_{0}^2+b_{0}^2=0)$, $a_{0}^{-1}c_{0}^{-1}(a_{0}^2+c_{0}^2=0)$, $b_{0}^{-1}c_{0}^{-1}(b_{0}^2+c_{0}^2=0)$
ce qui implique : $a_{0}^2=-b_{0}^2$, $a_{0}^2=-c_{0}^2$, $b_{0}^2=-c_{0}^2$
d'où l'on déduit (par exemple) :   $2.b_{0}^2=0$, et

     1) si $p=2$ on obtient $a_{0}=b_{0}=c_{0}=1$ d'où la factorisation binaire triviale
     2) si p premier $p>2$, alors ${0}=b_{0}=c_{0}=0$ et la factorisation est impossible

J'espère que ma démarche tient la route... Dans tous les cas, je vous souhaite de bonnes choses
pour la nouvelle année qui montre son nez !
René