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#1 Re : Entraide (supérieur) » Intégrable de Lebesgue: f doit-elle forcément être mesurable? » 31-01-2024 16:54:43
Merci, ça me paraît plus clair. Je cherchais la raison dans la définition quand j’aurais du la chercher, par exemple, dans les démonstrations des propriétés de l’intégrale.
#2 Re : Entraide (supérieur) » Intégrable de Lebesgue: f doit-elle forcément être mesurable? » 31-01-2024 07:39:24
Merci pour vos réponses! Je répond encore un peu tard, au cas où j’aurais pu approfondir ma compréhension entre temps.
Il me semble donc que le problème est que la borne supérieure de l’intégrale des fonctions étagées inférieures à [tex]f[/tex] n’est pas forcément définie dans le cas où [tex]f[/tex] n’est pas mesurable. (Même si je ne suis pas en mesure de démontrer ce résultat, ou du moins dans le cas mesurable elle est bien définie.)
Wikipédia apporte une réponse intéressante: «Cependant, afin de satisfaire des propriétés de linéarité et de convergence pour des suites, les fonctions considérées sont limitées aux fonctions mesurables, soit celles pour lesquelles l'image réciproque de tout intervalle soit dans la tribu [tex]\mathcal{A}[/tex].»
#3 Re : Entraide (supérieur) » Intégrable de Lebesgue: f doit-elle forcément être mesurable? » 28-12-2023 00:18:29
Merci pour la réponse! (Et désolé pour la mienne un peu tardive.)
J’avoue avoir du mal à comprendre ce que la mesurabilité change dans ce cas-là. Ce que j’ai compris, c’est que l’intégrale de la fonction reste définissable même si [tex]f[/tex] n’est pas mesurable, mais qu’on ne pourrait pas faire grand chose d’utile avec, ou du moins pas aussi facilement. Peut-être qu’en travaillant plus sur la notion de mesure ça me paraîtra plus clair.
#4 Entraide (supérieur) » Intégrable de Lebesgue: f doit-elle forcément être mesurable? » 21-12-2023 15:12:39
- matpulvinci
- Réponses : 10
Bonjour,
L’article sur la construction de l’intégrale de Lebesgue dit que cette dernière est définie pour toute fonction mesurable positive f.
Pourquoi f doit-elle être mesurable? Après tout, son intégrale est calculée uniquement à partir de la borne supérieure de l’intégrale des fonctions étagées inférieures à f qui sont, par définition, mesurables.
Est-ce que f doit être mesurable pour que cette borne supérieure existe? Si oui, en quoi la mesurabilité garantit ça?
Merci!
#5 Re : Entraide (supérieur) » Différence entre convergence simple et convergence uniforme » 21-12-2023 00:38:49
Merci pour vos réponses.
Et excellente vidéo, elle explique très bien la différence. (Peut-être qu’elle gagnerait à être référencé dans l’article?)
#6 Entraide (supérieur) » Différence entre convergence simple et convergence uniforme » 20-12-2023 16:43:43
- matpulvinci
- Réponses : 3
Bonjour à tous,
Je lisais l’article consacrée au sujet (que je découvrais en même temps) de la convergence simple et de la convergence monotone.
À première vue, il me semblait qu’il n’y avait aucune différence entre les deux définitions.
En effet, la convergence uniforme implique la convergence simple:
[tex]\forall \varepsilon > 0 ~~ \exists n_0 \in \mathbb{N} ~~ \forall x \in I ~~~ n \geq n_0 \implies |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon[/tex]
Ce qui implique (en déplaçant le quantificateur universel avant l’existentiel (1):
[tex]\forall x \in I ~~ \forall \varepsilon > 0 ~~ \exists n_0 \in \mathbb{N} ~~~ n \geq n_0 \implies |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon[/tex]
Ce qui est la définition de la convergence simple.
De plus, la convergence simple semble également impliquer la convergence uniforme. Dire que, pour toute valeur de [tex]x[/tex], la suite [tex](f_n(x))[/tex] converge vers [tex]f(x)[/tex] revient à dire que, pour un [tex]\varepsilon > 0[/tex] choisi, pour tout [tex]x[/tex], la distance entre [tex]f_n(x)[/tex] et [tex]f(x)[/tex] est inférieure à [tex]\varepsilon[/tex] à partir d’un rang [tex]n_0[/tex]. En prenant le maximum de tous ces [tex]n_0[/tex] (pour chaque [tex]x[/tex]), on retrouve la définition de la convergence uniforme.
Ce raisonnement est probablement faux. Est-ce parce que le maximum des [tex]n_0[/tex] n’est pas forcément défini?
Merci!
(1): Il me semble logique que [tex]\exists y \forall x ~ P(x, y) \implies \forall x \exists y ~ (P(x, y) [/tex]. Est-ce que cette propriété a un nom? Une démonstration?
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