Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Il y a une déduction fausse hyper classique, que chacun peut très facilement commettre s'il n'y prend pas garde (en tant qu'élève, mais aussi, soyons honnêtes, en tant que prof ; je l'ai faite par inadvertance tout récemment avant de me rendre compte que j'aboutissais à une incohérence) :

Déduire sans précaution d'une inégalité l'inégalité obtenue en inversant les membres et le signe d'inégalité.
Par exemple $x > 4  \Rightarrow  \displaystyle \frac{1}{x} < \displaystyle \frac{1}{4}$

Que signifie $\displaystyle \frac{1}{x} < \displaystyle \frac{1}{4}$ ?

Cette inégalité désigne l'ensemble des réels inférieurs à $\displaystyle \frac{1}{4}$, y compris 0 et les nombres négatifs.

En l'écrivant, vous faites donc allégrement franchir à $\displaystyle \frac{1}{x}$ une barrière infranchissable !!
(Par quel miracle l'inverse d'un nombre positif peut-il devenir nul, voire négatif ??!!)

L'écriture correcte est donc $x > 4 \Rightarrow  \color{red}{0} < \displaystyle \frac{1}{x} < \displaystyle \frac{1}{4}$.

Faites tout aussi attention aux déductions fausses suivantes :

$x < -4  \Rightarrow  \displaystyle \frac{1}{x} > - \displaystyle \frac{1}{4}$    (l'inverse d'un nombre négatif devient nul, puis positif !!)

$\displaystyle \frac{1}{x} > 4  \Rightarrow  x <   \displaystyle \frac{1}{4}$ (un nombre nécessairement positif devient nul, puis négatif !!)

$\displaystyle \frac{1}{x} < -4  \Rightarrow  x > - \displaystyle \frac{1}{4}$   (un nombre nécessairement négatif devient positif !!)

Alors, promis ?, vous ferez attention à la cohérence de ce que vous écrivez lorsque vous inversez les membres d'une inégalité ?  :-)

Bonne journée, et bonnes écritures correctes !