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#1 Re : Entraide (supérieur) » Problème de caractérisation de suprémum » 02-09-2023 16:08:10
Re-Bonjour,
Merci beaucoup ! Je comprends mieux ! Néanmoins, je ne vois pas comment est prouvé l'unicité, à priori le théorème des valeurs intermédiaires nous donne au moins un point, pourquoi est-il unique ?
Ce que j'ai trouvé comme solution serait en définissant :
$$ g : x \mapsto \tan{\dfrac{\pi x}{2}} + \dfrac{\pi}{2n}x - \dfrac{\pi}{2n}$$
Fonction qui en la dérivant me donne :
$$ g' : x \mapsto \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2}\tan^2{\dfrac{\pi x}{2}} > 0$$
Et étant strictement positive, $g$ est donc strictement croissante, ie injective, de fait, on a bien une unique solution ?
Merci encore pour vos explications
#2 Entraide (supérieur) » Problème de caractérisation de suprémum » 02-09-2023 13:54:08
- Faenzar
- Réponses : 4
Bonjour,
Après avoir bien cherché, je reste bloqué sur un problème de caractérisation de sup.
J'ai la fonction suivante :
$$f_n : x \mapsto n(1-x)^n \sin{\dfrac{\pi x}{2}}$$
Et on définit $x_n$ comme suit :
$$f_n(x_n) = \sup_{[0,1]} f_n$$
Le but est de montrer qu'il est caractérisé par $\tan{\dfrac{\pi x_n}{2}} = \dfrac{\pi}{2n}(1 - x_n)$
En dérivant et en posant l'équation en 0, on trouve rapidement ce résultat.
Mon problème est que ce n'est que l'impliquation direct, et pour moi montrer qu'on est caractérisé revient à montrer une équivalence, et je ne vois pas comment montrer qu'il ne s'agit pas d'un point de dérivée nulle quelconque, mais bien d'un supremum.
J'ai essayé avec des arguments de convexité et de faire tendre les limites en ce point, mais je n'arrive à rien. Si l'un.e d'entre vous aurait une indication ?
En vous remerciant
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