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Rebonjour
La partition [tex](m_i)U_m [/tex] ne comporte qu'un seul groupe monogène [tex] U_m [/tex] les autres ne sont pas même pas des groupes puisqu'ils ne comportent pas [tex] I [/tex] mais ce sont quand même des ensembles à p éléments tous dans des groupes monogènes à p éléments

Exemple
[tex] GL_3( \mathbb Z /3 \mathbb Z) [/tex]

il y a [tex] 3^{\frac {3(3-1)}{2}}(3^3-1)(3^2-1)(3-1)=11232=2^5×3^3×13 [/tex] matrices différentes dans [tex] GL_3( \mathbb Z /3 \mathbb Z) [/tex]

On voit  ci-dessous dans les résultats informatiques
qu'il y a 728 matrices différentes qui appartiennent à des groupes monogènes d'ordre p=3
ce qui donne raison à  mseeker puisqu'il n'y en a pas exactement   [tex]p^2-1= 3^2-1=8 [/tex]
avec la technique de partition  [tex](m_i)U_m [/tex] il devrait y avoir pour un élément (m) choisi 729/3=243 ensembles disjoints d'ordre 3 dont un seul est un groupe monogène [tex] U_m=\{(m),(m)^2,I \} [/tex]

Certains diviseurs de 11232 comme  [tex]3^2, 2^2×3, 2^4, 2×3^2, 2^3×3 [/tex] ne sont pas des ordres de groupes monogènes

Sont des ordres de groupes monogènes
[tex] 1, 2, 3, 2^2, 2×3, 2^3, 13, 2×13 [/tex]

L'ordre le plus grand pour un groupe monogène est bien [tex] p^r - 1 = 3^3 - 1 = 26 [/tex]

Résultats informatiques

"(m)^1=I   1  matrice(s)"
"(m)^2=I   235  matrice(s)"
"(m)^3=I   728  matrice(s)"
"(m)^4=I   1404  matrice(s)"
"(m)^5=I   0  matrice(s)"
"(m)^6=I   2600  matrice(s)"
"(m)^7=I   0  matrice(s)"
"(m)^8=I   2808  matrice(s)"
"(m)^9=I   0  matrice(s)"
"(m)^10=I   0  matrice(s)"
"(m)^11=I   0  matrice(s)"
"(m)^12=I   0  matrice(s)"
"(m)^13=I   1728  matrice(s)"
"(m)^14=I   0  matrice(s)"
"(m)^15=I   0  matrice(s)"
"(m)^16=I   0  matrice(s)"
"(m)^17=I   0  matrice(s)"
"(m)^18=I   0  matrice(s)"
"(m)^19=I   0  matrice(s)"
"(m)^20=I   0  matrice(s)"
"(m)^21=I   0  matrice(s)"
"(m)^22=I   0  matrice(s)"
"(m)^23=I   0  matrice(s)"
"(m)^24=I   0  matrice(s)"
"(m)^25=I   0  matrice(s)"
"(m)^26=I   1728  matrice(s)"

Bonjour Fred et Freddy
A nouveau merci pour votre aide
Bien cordialement
Aueaao

_{Exception
Avec les pronoms personnels  EN et  Y,  la deuxième personne du singulier s'écrit avec -s
Vois ces matrices à coefficients dans Z/3Z. Cherches-en une qui n'est pas inversible.
Où est ton ordinateur? Si tu veux bien, gardes-y la publication de Romagny qui se trouve sur cette clé-USB}

Merci GK
J'ai vérifié que [tex] K_ {sup} = p^r - 1 [/tex]
pour:

[tex] \mathbb{GL}_2( \mathbb Z/ 2 \mathbb Z) [/tex]   [tex] K_ {sup} = 3 [/tex]  [tex] [m]^3=I [/tex]  pour 2 matrices

[tex] \mathbb{GL}_2( \mathbb Z/ 3 \mathbb Z) [/tex]  [tex] K_ {sup} = 8 [/tex]  [tex] [m]^8=I [/tex]  pour 12 matrices

[tex] \mathbb{GL}_2( \mathbb Z/ 5 \mathbb Z) [/tex]  [tex] K_ {sup} = 24 [/tex]  [tex] [m]^3=I [/tex]  pour 80 matrices

[tex] \mathbb{GL}_2( \mathbb Z/ 7 \mathbb Z) [/tex]  [tex] K_ {sup} = 48 [/tex]  [tex] [m]^{48}=I [/tex]  pour 336 matrices

[tex] \mathbb{GL}_2( \mathbb Z/ 11 \mathbb Z) [/tex] [tex] K_ {sup} = 120 [/tex]  [tex] [m]^{120}=I [/tex]  pour 1760 matrices

[tex] \mathbb{GL}_2( \mathbb Z/ 13 \mathbb Z) [/tex] [tex] K_ {sup} = 168 [/tex]  [tex] [m]^{168}=I [/tex]  pour 3744 matrices

[tex] \mathbb{GL}_3( \mathbb Z/ 2 \mathbb Z) [/tex] [tex] K_ {sup} = 7 [/tex]  [tex] [m]^{7}=I [/tex]  pour 48 matrices

[tex] \mathbb{GL}_3( \mathbb Z/ 3 \mathbb Z) [/tex] [tex] K_ {sup} = 26 [/tex]  [tex] [m]^{26}=I [/tex]  pour 1728 matrices

Ensuite çà marche aussi en faisant tourner le programme sans attendre la complète répartition des matrices on reste très vite bloqué sur  l'exposant Ksup égal à [tex] p^r - 1[/tex]

Je continue à chercher une éventuelle démonstration
Bonsoir à toutes et à tous
aueaao

Merci Fred.    BZH (Bretagne Zone Humide)
Je vais suivre scrupuleusement tes indications
@ bientôt avec la solution complète

Bonjour à toutes et à tous
CORRECTION DU PRÉCÉDENT POST
Pourquoi
[tex] |GLr(\mathbb Z/26\mathbb Z)|= |GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z)| \cdot |GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z)|[/tex]

Réponse
Il y a [tex]|GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z)|=N_2[/tex] matrices carrées [tex] r \times r [/tex] inversibles à coefficients dans
[tex] \mathbb Z /2 \mathbb Z [/tex]

Il y a [tex]|GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z)|= N_{13} [/tex] matrices carrées [tex] r \times r [/tex] inversibles à coefficients dans [tex] \mathbb Z /13 \mathbb Z [/tex]

Il y a [tex] N_2 \cdot N_{13} [/tex] couples de matrices dans
[tex] GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z) \mathbf { \times } GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z) [/tex]

par exemple [tex] ( \begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} , \begin {pmatrix} 4 & 8 \\ 5 & 9 \end {pmatrix} ) ∈  GL_2 (\mathbb Z/2\mathbb Z) \mathbf { \times } GL_2(\mathbb Z/13\mathbb Z) [/tex]

A UN COUPLE de matrices on fait correspondre UNE SEULE matrice de couples de [tex] \mathbb Z/ 2 \mathbb Z  \mathbf {\times} \mathbb Z /13\mathbb Z [/tex]

exemple [tex] ( \begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} , \begin {pmatrix} 4 & 8 \\ 5 & 9 \end {pmatrix} ) \longmapsto  \begin {pmatrix} {(1,4)} & {(1,8)} \\ {(0,5)} & {(1,9)} \end {pmatrix}  [/tex]

et à UNE matrice comportant des couples [tex] (x,y) \in  \mathbb Z/ 2 \mathbb Z  \mathbf {\times} \mathbb Z /13\mathbb Z [/tex]

on fait correspondre UNE SEULE matrice de  [tex]GLr(\mathbb Z/26\mathbb Z)[/tex] par  [tex] a=f((x,y))= (13x+14y) mod 26 [/tex]

avec [tex] a\equiv x(mod2) [/tex] et [tex] a\equiv y(mod13) [/tex]

par exemple [tex] \begin {pmatrix} {(1,4)} & {(1,8)} \\ {(0,5)} & {(1,9)} \end {pmatrix}  \longmapsto   \begin {pmatrix} {17} & {21} \\ {18} & 9  \end {pmatrix} [/tex]

Cette matrice à coefficients dans [tex] \mathbb Z / 26\mathbb Z [/tex] est inversible car le déterminant de la matrice de [tex] GLr(\mathbb Z / 2 \mathbb Z) [/tex] est [tex] d_2=1 [/tex] celui de la matrice de [tex] GLr(\mathbb Z /13 \mathbb Z) [/tex] est [tex] d_{13} \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 \} [/tex]
et alors [tex] d_{26}= f(d_2,d_{13})=13d_2+14d_{13} [/tex] qui est impair différent de 13 et donc inversible dans [tex] \mathbb Z/26\mathbb Z [/tex]

Par exemple  [tex] d_2=det \begin {pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end {pmatrix} = 1 [/tex]

    [tex]d_{13}=det \begin {pmatrix} 4 & 8\\ 5 & 9 \end {pmatrix} = 9 [/tex] et [tex] f(1,9)=13\times1+14\times9=9 [/tex]

[tex]d_{26}=det \begin {pmatrix} {17} & {21}\\ {18} & 9 \end {pmatrix} = 9 [/tex]

Inversement à UNE matrice de [tex] GLr(\mathbb Z / 26 \mathbb Z) [/tex] on fait correspondre un couple et un seul de matrices de [tex] GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z) \mathbf { \times } GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z) [/tex]

On en conclut que
[tex] |GLr(\mathbb Z/26\mathbb Z)|= |GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z)| \cdot |GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z)|[/tex]

Bonjour à toutes et à tous
Pourquoi
[tex] |GLr(\mathbb Z/26\mathbb Z)|= |GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z)| \cdot |GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z)|[/tex]

Réponse
Il y a [tex]|GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z)|=N_2[/tex] matrices carrées [tex] r \times r [/tex] inversibles à coefficients dans
[tex] \mathbb Z /2 \mathbb Z [/tex]

Il y a [tex]|GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z)|= N_{13} [/tex] matrices carrées [tex] r \times r [/tex] inversibles à coefficients dans [tex] \mathbb Z /13 \mathbb Z [/tex]

Il y a [tex] N_2 \cdot N_{13} [/tex] couples de matrices dans
[tex] GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z) \mathbf { \times } GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z) [/tex]

par exemple [tex] ( \begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} , \begin {pmatrix} 3 & 7 \\ {12} & {15} \end {pmatrix} ) ∈  GL_2 (\mathbb Z/2\mathbb Z) \mathbf { \times } GL_2(\mathbb Z/13\mathbb Z) [/tex]

A UN COUPLE de matrices on fait correspondre UNE SEULE matrice de couples de [tex] \mathbb Z/ 2 \mathbb Z  \mathbf {\times} \mathbb Z /13\mathbb Z [/tex]

exemple [tex] ( \begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} , \begin {pmatrix} 3 & 7 \\ {12} & {15} \end {pmatrix} ) \longmapsto  \begin {pmatrix} {(1,3)} & {(1,7)} \\ {(0,12)} & {(1,5)} \end {pmatrix}  [/tex]

et à UNE matrice comportant des couples [tex] (x,y) \in  \mathbb Z/ 2 \mathbb Z  \mathbf {\times} \mathbb Z /13\mathbb Z [/tex]

on fait correspondre UNE SEULE matrice de  [tex]GLr(\mathbb Z/26\mathbb Z)[/tex] par  [tex] f((x,y))= (13x+2y) mod 26 [/tex]

par exemple [tex] \begin {pmatrix} {(1,3)} & {(1,7)} \\ {(0,12)} & {(1,5)} \end {pmatrix}  \longmapsto   \begin {pmatrix} {19} & 1 \\ {24} & {23}  \end {pmatrix} [/tex]
Cette matrice à coefficients dans [tex] \mathbb Z / 26\mathbb Z [/tex] est inversible car le déterminant de la matrice de [tex] GLr(\mathbb Z / 2 \mathbb Z) [/tex] est [tex] d_2=1 [/tex] celui de la matrice de [tex] GLr(\mathbb Z /13 \mathbb Z) [/tex] est [tex] d_{13} \in \{1,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25 \} [/tex]
et alors [tex] d_{26}= f(d_2,d_{13})=13+2d_{13} [/tex] est impair différent de 13

Inversement à UNE matrice de [tex] GLr(\mathbb Z / 26 \mathbb Z) [/tex] on fait correspondre un couple et un seul de matrices de [tex] GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z) \mathbf { \times } GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z) [/tex]

On en conclut que
[tex] |GLr(\mathbb Z/26\mathbb Z)|= |GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z)| \cdot |GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z)|[/tex]

Bonne journée
Ddtrg

Bonjour
Merci pour l'aide
[tex]p_1[/tex] et [tex]p_2[/tex]  sont des nombres premiers d'après l'énoncé
Si la notation (P1,P2)=1 de Chabine veut dire [tex]p_1,p_2[/tex] premiers entre eux c'est bon
et d'après thadrien toujours fidèle au poste et aussi Chabine
[tex]GLr(\mathbb{Z}/p_1p_2\mathbb{Z})[/tex] est isomorphe à [tex]GLr(\mathbb{Z}/p_1\mathbb{Z})\times GLr(\mathbb{Z}/p_2\mathbb{Z})[/tex] et c'est vrai que dans ce cas  [tex]\left|GLr(\mathbb{Z}/(p_1p_2)\mathbb{Z}\right|[/tex]=[tex]\left|GLr(\mathbb{Z}/p_1\mathbb{Z}\right|\left|GLr(\mathbb{Z}/p_2\mathbb{Z}\right|[/tex]
Est-ce que cela voudrait dire que toute matrice de [tex]GLr(\mathbb{Z}/p_1p_2\mathbb{Z})[/tex] se décompose de façon unique en un produit d'une matrice de [tex]GLr(\mathbb{Z}/p_1\mathbb{Z})[/tex] par une matrice de [tex]GLr(\mathbb{Z}/p_2\mathbb{Z})[/tex] ?
Merci
Bonne fin de journée
Ddtrg

Bonjour à toutes et à tous

Pour rendre rigolo le problème (désolé on m'a extrait du forum cryptographie)
La vérification des résultats est en cours

Dans l'anneau commutatif [tex] \mathbb{Z}/26\mathbb{Z}[/tex] 0,2,4,6,8,10,12,13,14,16,18,20,22,24 n'ont pas d'inverse
on cherche l'image de rang k du vecteur [tex]\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\end{pmatrix}}[/tex] à coordonnées dans  [tex] \mathbb{Z}/26\mathbb{Z}[/tex] en multipliant dans [tex] \mathbb{Z}/26\mathbb{Z}[/tex] la puissance d'exposant k de la  matrice
(m)= [tex]\begin{pmatrix}25&4&0&0\\0&14&13&0\\0&0&12&13\\17&0&0&25\end{pmatrix}}[/tex] par le vecteur  [tex]\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\end{pmatrix}}[/tex]
La matrice (m) n'est pas inversible car son déterminant modulo 26 qui est égal à 12 n'a pas d'inverse dans [tex] \mathbb{Z}/26\mathbb{Z}[/tex]
On montre que [tex](m)^{28}=(m)^2[/tex] mais on n'est pas ici dans Z/pZ avec p premier comme dans le début de ce post
Les cycles de vecteurs tous différents seront composés au plus de 28-2=26 vecteurs et les autres cycles auront un nombre de vecteurs qui sera un diviseur de 26
par exemple le vecteur PUMA = [tex]\begin{pmatrix}16\\21\\13\\1\end{pmatrix}}[/tex] (on prend A=1, B=2 .., Y=25, Z=0) se trouve dans un cycle à 2 vecteurs PUMA et PUMK
PUMA a un antécédent direct hors cycle qui est PHMK et PUMK un antécédent direct hors cycle qui est PHMA
PHMK a deux antécédents directs  PHZK et PUZK qui eux n'ont pas d'antécédents
PHMA a deux antécédents directs  PHZA et PUZA qui eux n'ont pas d'antécédents
Les codes sont disposés dans une espèce de "molécule" de codes