Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous,

Je suis en train de reprendre tranquillement à mon rythme le programme de MPSI / MP et je bloque sur l'exercice 17 de cette page d'exercice : https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo. Je serai très reconnaissant si quelqu'un pouvait me confirmer si ma solution est correcte ou le cas échéant me montrer où est l'erreur de raisonnement :)

On souhaite démontrer l'égalité suivante pour $x$ réel et $n$ entier naturel non nul : $\left \lfloor{\frac{\left \lfloor{nx}\right \rfloor}{n}}\right \rfloor = \left \lfloor{x}\right \rfloor$

Ma proposition de solution :

On a par définition de la partie entière, $\left \lfloor{nx}\right \rfloor \le nx$, on divise de chaque côté par $n$ et on obtient $\frac{\left \lfloor{nx}\right \rfloor}{n} \le x$

Cas 1 : la division "tombe juste" et $\frac{\left \lfloor{nx}\right \rfloor}{n} \in \mathbb{N}$, en particulier on a $\frac{\left \lfloor{nx}\right \rfloor}{n} = \left \lfloor{\frac{\left \lfloor{nx}\right \rfloor}{n}}\right \rfloor$, comme c'est le plus grand entier $\le x$ on a par définition $\left \lfloor{\frac{\left \lfloor{nx}\right \rfloor}{n}}\right \rfloor =  \left \lfloor{x}\right \rfloor$

Cas 2 : la division "ne tombe pas juste", on a $\frac{\left \lfloor{nx}\right \rfloor}{n} \le x$ or $\left \lfloor{\frac{\left \lfloor{nx}\right \rfloor}{n}}\right \rfloor \le \frac{\left \lfloor{nx}\right \rfloor}{n}$ donc $\left \lfloor{\frac{\left \lfloor{nx}\right \rfloor}{n}}\right \rfloor \le x$, ayant trouvé le plus grand entier naturel $\le x$ on a donc $\left \lfloor{\frac{\left \lfloor{nx}\right \rfloor}{n}}\right \rfloor =  \left \lfloor{x}\right \rfloor$

Merci d'avance !