Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,
Tu dis $\frac{1}{x+1}\sim_{x\to \infty}\frac{1}{x}$ cela se réécrit de manière équivalente $\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x}+o(\frac{1}{x})$.
Ensuite tu dis $\ln(1+\frac{1}{x}) = \frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2})$ (en corrigeant l'erreur du signe $-$ dans le DL de $\ln$).
Ensuite tu dis qu'on soustrait les deux DL :
cela donne :
$\frac{1}{x+1}-\ln(1+\frac{1}{x}) = \frac{1}{x}+o(\frac{1}{x}) -\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}-o(\frac{1}{x^2}) = o(\frac{1}{x})$.
En effet, les termes $\frac{1}{2x^2}$ et $o(\frac{1}{x^2})$ sont "mangés" par le $o(\frac{1}{x})$.
Finalement, en multipliant par $x^2$ tu trouves $x^2f(x)=o(x)$ ce qui n'est pas assez précis pour conclure à une éventuelle limite.
Bilan : quand on somme un DL à l'ordre 1 et un DL à l'ordre 2 on obtient un DL à l'ordre 1...

Si tu remplaces $\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x}+o(\frac{1}{x})$ par $\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+o(\frac{1}{x^2})$ (un DL à l'ordre 2) alors tu vas trouver quelque chose de plus concluant.

De manière générale : soit on travaille avec les équivalents (mais on fait attention à ne pas sommer (n'importe comment...) des équivalents) soit on travaille avec des DL (on peut toujours les sommer mais le moins précis va toujours ruiner la précision des autres). On évite un mélange des deux.

Bonne soirée