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BONSOIR à tous je prépare actuellement un partiel en algebre et je suis tomber sur ce exercice..j'ai un peu de mal avec les polynôme et les bases.. Pourriez vous m'aidez s'il vous plaît..

Considerons ?3[?], l’espace vectoriel des polynomes de degré inferieur ou egal a 3 muni de sa base canonique
ℬ = (1, ?, ?^2, ?^3).
1. a) Montre que ℬ'= (1 + ?^3, ? + ?^2, 1 − ?^3, ? − ?^2) est une base ?3[?].
b) Determine les composantes des polynomes 1, ?, ?^2 et ?^3 dans la base ℬ'
.
2. Soit ? l’application de ?3[?] vers ?3[?] definie par
?(?0+ ?1? + ?2?^2 + ?3?^3) = ?3 + ?2? + ?1?^2 + ?0?^3
.
3. Montre que ? est un automorphisme. Quel est le rang de ??
4. Calcule ?
2 = ? ∘ ? et deduis ?−1
.
5. Determine ? la matrice de ? relativement a la base ℬ et son inverse ?−1
.
6. D´etermine la matrice ? de ? relativement `a la base ℬ'
. Calcule ?? pour tout entier naturel non nul ?.
7. Donne la matrice de passage ? de la base ℬ a la base ℬ' ainsi que son inverse
?−1
. Calcule en utilisant la formule de changement de base, ?^n pour tout entier naturel ? ≥ 1.