Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour

Je comprends que c'est la dernière transformation qui vous bloque: comment passe-ton de $-\frac{1}{2} \frac{1}{\hat{y}_2}+ \frac{1}{\hat{y}_2}-  \frac{2\hat{y}_2}{N}=0$ à $\hat{y}_2 = \frac{\sqrt{N}}{2}$.

Etape par étape:

Etape 1:  On commence par simplifier $-\frac{1}{2} \frac{1}{\hat{y}_2}+ \frac{1}{\hat{y}_2}$ en  $\frac{1}{2} \frac{1}{\hat{y}_2}$, pour obtenir que cette équation équivaut à
$$ \frac{1}{2} \frac{1}{\hat{y}_2} -  \frac{2\hat{y}_2}{N}=0$$

Etape 2: On multiplie les deux termes de cette équation par $ 2 N \hat{y}_2$, supposé non nul, pour obtenir de façon équivalente
$$ N -  4 \left(\hat{y}_2\right)^2=0$$

Etape 3:  Si $N$ est supposé positif (il manque l'énoncé pour justifier cette hypothèse), on identifie l'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ avec ici $a=\sqrt{N}$ et $b = 2 \hat{y}_2$ pour écrire que c'est équivalent à

$$ \left( \sqrt{N} - 2 \hat{y}_2 \right) \left( \sqrt{N} + 2 \hat{y}_2 \right) = 0$$

C'est une équation produit nul, qui se vérifie pour les valeurs $\hat{y}_2 = + \frac{\sqrt{N}}{2}$ et $\hat{y}_2 = - \frac{\sqrt{N}}{2}$.

Etape 4: Là encore, il manque un élément de l'énoncé pour éliminer la solution négative $\hat{y}_2 = - \frac{\sqrt{N}}{2}$ et conclure que cette équation produit nul est équivalente à $\hat{y}_2 = \frac{\sqrt{N}}{2}$

J'espère que c'est plus clair. J'imagine que c'est l'étape 2 qui vous manquait.
Cordialement
JJO

Bonjour

On dirait que les questions de "college-lycée" se corsent !

Si l'on demande sur Wolfram, on obtient

$ \int_0^{1/2} \frac{ln(2x+1}{x^2+1} \text{d}x  =
ln(2) \arctan\left(\frac{4}{3}\right)+ \frac{1}{2} i \left(
\text{Li}_2\left(\frac{1}{5}-\frac{2i}{5}\right) - \text{Li}_2\left(\frac{1}{5}+\frac{2i}{5}\right)
- \text{Li}_2\left(\frac{2}{5}-\frac{4i}{5}\right) + \text{Li}_2\left(\frac{2}{5}-\frac{4i}{5}\right)
\right)
\approx 0.173291
$
C'est sans doute vrai, mais tout aussi sûrement très éloigné de ce que l'on vous demande de résoudre.

Comme Roro et Bernard le suggèrent, il vaut mieux soumettre l'énoncé de base que supposer seul que l'intégrale résiduelle qui vous résiste est un passage obligé.

Cordialement
J.-J.

Bonjour

Pardon c'est moi qui avais mal recopié - c'était en effet dans cette configuration:

"Armelle et Boris ne suivent pas les mêmes enseignements.
La semaine 1, Armelle a réussi $50\%$ des exercices qu'elle a traités et Boris $90\%$ des exercices qu'il a traités.
La semaine 2, Armelle a réussi $20\%$ des exercices qu'elle a traités et Boris ${ \color{red} {40\%} }$ des exercices qu'il a traités.
Sur l'ensemble de la quinzaine, Boris a nécessairement réussi un plus grand pourcentage d'exercices traités qu'Armelle."

Cordialement
J.J.

Bonsoir

Un grand merci Fred. J'avais oublié ce phénomène, et sa mention donnera un peu de relief à cette leçon qui en manque un peu, comparée aux autres.

A son propos, il me semble que c'est ce même paradoxe qui sous-tendait la réponse à la question $19$ de la première épreuve écrite du sujet 1 VRAI/FAUX du capes externe de cette année:

"Armelle et Boris ne suivent pas les mêmes enseignements.
La semaine 1, Armelle a réussi $50\%$ des exercices qu'elle a traités et Boris $90\%$ des exercices qu'il a traités.
La semaine 2, Armelle a réussi $20\%$ des exercices qu'elle a traités et Boris $10\%$ des exercices qu'il a traités.
Sur l'ensemble de la quinzaine, Boris a nécessairement réussi un plus grand pourcentage d'exercices traités qu'Armelle."

Bien cordialement
J.-J.

Pour une simulation sous tableur/python, je pensais simuler une variable aléatoire discrète de loi connue à partir d'une loi uniforme en utilisant sa loi de répartition justement.

Bonjour

L'angle $0$ correspond à un angle nul, qui sur le cercle trigonométrique part de l'axe des $x$
L'angle $2\pi$ correspond à un tour complet, effectué dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.

Un incrément de $\pi$ correspond à un demi-tour sur le cercle, toujours dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.
Du coup,
$k=0$: l'angle $\pi/3$ correspond à "un sixième de la pizza"
$k=1$: l'angle $\pi/3+ 1 \times \pi$ correspond à "un sixième de la pizza" plus "une demi pizza"
$k=2$: l'angle $\pi/3+ 2 \times \pi$ correspond à "un sixième de la pizza" plus "une pizza complète" (on revient sur le point $\pi/3$)
$k=3$: l'angle $\pi/3+ 3 \times \pi$ correspond à "un sixième de la pizza" plus "une pizza complète et demi" (on revient sur le point $\pi/3 + \pi$)

Un incrément de $\pi/2$ correspond à un quart de tour sur le cercle, effectué toujours dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.

Donc la même façon
$k=0$: l'angle $\pi/6$ correspond à "un douzième de la pizza"
$k=1$: l'angle $\pi/6+ 1 \times \pi/2$ correspond à "un douzième de la pizza" plus "un quart de pizza"
$k=2$: l'angle $\pi/6+ 2 \times \pi/2$ correspond à "un douzième de la pizza" plus "une demi pizza"
$k=3$: l'angle $\pi/6+ 3 \times \pi/2$ correspond à "un douzième de la pizza" plus "trois quart de pizza"
$k=4$: l'angle $\pi/6+ 4 \times \pi/2$ correspond à "un douzième de la pizza" plus "une pizza complète"  (on revient sur le point $\pi/6$)
$k=5$: l'angle $\pi/6+ 5 \times \pi/2$ correspond à "un douzième de la pizza" plus "une pizza complète et un quart"  (on revient sur le point $\pi/6+\pi/2$)

Peut-être qu'avec un dessin ce sera plus clair ?

Bon courage