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Bonjour,

Je suis en train de galérer sur un exercice de la matière suivante : Analyse Convexe. (Niveau M1).

Voilà l'énoncé :

Soit I un intervalle
On considère f : I dans R continue.

On pose 1) : f est convexe sur I
2) Pour tout J compact inclus dans I et pour toute fonction affine g : max_{J} (f+g) = max_{frontière de J} (f+g)
3) Pour h appartenant à ]0, dist(x, frontière(I)[ f(x) <= 1/2h* integrale(x-h à x+h) f(t)dt

Montrer que les trois affirmations sont équivalentes.

J'ai voulu montrer que 1) => 2) => 3) =>1)

J'ai réussi à montrer que 1) => 2). Mais j'ai quelques difficultés pour 2) => 3) et 3) => 1).

Mes recherches pour 2) => 3) :
J'ai essayer de montrer l'inégalité terme par terme sans grande finalité, j'ai remarqué que 2h = x + h - x - h, j'ai voulu essayer de raisonner par des taux d'accroissement avec la primitive de f mais encore une fois sans grande réussite.

3) => 1) : j'avoue ne pas avoir encore bien cherché cette implication, mais j'ai tout de même chercher un minimum, je n'ai pas énormément d'idée pour trouver.

Donc voilà mon problème. Je suis à la recherche de piste, et je n'ai pas de correction à disposition, il s'agit de mon premier poste donc si la demande n'est pas appropriée ou qu'il manque quelque chose n'hésitez pas à me le dire.