Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir Yoshissime, Black Jack, et bien sûr jfniouk, bonsoir à tous,

C'eût été plus logique de demander de combien le cercle ou la sphère dépasse du triangle ou du cône.

En reprenant la logique proposée par Yoshi, le dépassement est égal à $18 - \dfrac {20 \cos {13} - 18}{\sin {13}}$, soit $\approx 11,388$.

Question subsidiaire : En imaginant le cône posé verticalement, quel doit être le rayon de la sphère pour que le cône la recouvre entièrement tout en lui étant tangent ?

Bonjour Sarah, bonjour à tous,

Je préconise à mes élèves une démarche globalement inverse :

• Lis l'énoncé en essayant d'en saisir plus ou moins vaguement la finalité et le fil conducteur.
  (Je reproche beaucoup à la majorité des exercices d'être des "exercices GPS", comme je les appelle : « Au prochain carrefour, prendre la troisième sortie ; dans 500 m, tourner à droite ; continuer pendant 3 km, puis tourner à gauche ; etc », ces indications détaillées ne permettant pas d'avoir une vue d'ensemble, logique, du trajet préconisé.)

• Ne cherche pas dans un premier temps à résoudre l'exercice et va directement au corrigé en faisant le plus possible d'allers-retours entre le corrigé et l'énoncé, le but ici étant de comprendre la logique de résolution de cet exercice.
  (Profite de cette étape pour repérer les écritures un peu trop hâtives que tu aurais facilement pu commettre, par exemple écrire $\sqrt {\left (ax^2 + bx + c \right)^2} = ax^2 + bx + c $ sans avoir préalablement vérifié le ou les signes du polynôme.)

• Passe à l'exercice suivant, et repère les similitudes et différences entre les logiques de résolution : s'agit-il de deux "habillages" différents d'un même "squelette", pour reprendre l'expression de Yoshi (personnellement, j'utilise les mots "habillage" et "structure") ? ou s'agit-il de logiques de résolution sensiblement différentes ?

• Continue ainsi avec les autres exercices, l'important étant de bien t'imprégner des différentes logiques de résolution.

• Lorsque ces logiques te semblent bien comprises, là, oui, résous par toi-même les exercices en faisant le moins possible appel aux corrigés.

• Arrivé(e) à la fin d'un exercice, arrête-toi et réfléchis à l'ordonnancement logique des questions : pourquoi cet ordre ? pourrait-on facilement passer de l'énoncé à directement la dernière question ? si cette transition directe semble un peu trop abrupte, quelles sont les questions intermédiaires devant être conservées ?

• Essaye autant que possible de généraliser l'exercice, en allant plus loin que "le bout du nez" de celui-ci.

• Demande-toi aussi comment l'exercice a été conçu, et essaye de concevoir des exercices similaires.
  Je demande souvent de "jouer au prof" — j'explique préalablement les façons de faire —, en concevant des exercices correspondant à telle ou telle logique de résolution, et ensuite de les résoudre en tant qu'élève, en soignant la rédaction (que j'appelle "rédaction fayotte" : regardez comme je prends bien soin à rédiger des phrases "franco-mathématiques", comme je prends soin à montrer les étapes de calcul, comme je fais attention à bien rédiger les transitions, comme je cherche à vous faire plaisir !)

  A propos de conception d'exercices, je suis absolument admiratif devant les exercices que conçoit Yoshi ! C'est véritablement un précieux travail d'auteur !

Ces recommandations concernent surtout les exercices avec corrigés de façon à bien maîtriser les logiques de résolution. (Il peut être bon de travailler sur des recueils différents car les logiques de résolution peuvent sensiblement varier d'un auteur à l'autre, voire être réellement séduisantes.)

Pour les batteries d'exercices similaires telles qu'on en trouve dans les manuels, je demande de les parcourir le plus rapidement possible — j'utilise le verbe "déchiffrer" — en cherchant non pas à les résoudre, mais seulement à déterminer immédiatement comment procéder, en considérant que lorsque ce « comment ? » est compris, l'exercice est en grande partie résolu. (On peut résoudre seulement les exercices qui, à première vue, ont "quelque chose de spécial".)

Pour les exercices plus consistants, la méthode que je préconise est la suivante :

• Traduis immédiatement chaque information de l'énoncé en expression(s) mathématique(s), et déduis le plus possible de ces expressions, sans jeter le moindre coup d'œil aux questions. (J'appelle « STOP » ces interruptions.)

• Lorsque tu es arrivé(e) au bout du bout de ce que tu peux déduire, et seulement à ce moment-là, prends connaissance des questions.
  Tu t'aperçois alors que tu as déjà répondu à la majorité d'entre elles, si ce n'est la totalité — comme je dis « Il est nettement plus facile de répondre à des questions auxquelles on a préalablement répondu ! ». De plus, tu as l'agréable impression de "prendre l'ascendant" sur l'exercice, et de ne pas te faire manipuler par lui. D'où une baisse sensible du stress, notamment en situation de contrôle ou d'examen.
  Tu peux aussi te rendre compte que tu as résolu des points que l'exercice ne demande pas, ce qui est presque frustrant : « Quel dommage ! L'exercice aurait pu aller plus loin ! Il en aurait été (encore) plus intéressant ! »
  Parfois, c'est l'inverse : tu découvres des questions auxquelles tu n'avais initialement pas pensé : « Ah, mais oui ! C'est évident ! J'aurais dû y penser ! »

Mes élèves de Terminale qui ont bien intégré cette façon de faire résolvent en une heure et demie la totalité des exercices au "brouillon propre" — c'est-à-dire les logiques de résolution sans l'habillage textuel —, s'offrent le luxe de sortir une demi-heure ou trois quarts d'heure avant la fin de l'épreuve, et ont le plaisir de se voir gratifiés d'un 18, d'un 19 ou d'un 20.

Comme vous pouvez le constater, je privilégie fortement la qualité à la quantité : il vaut mieux, à mon sens, travailler moins d'exercices en tirant de chacun d'eux le plus possible de compréhension, que d'hanoner — ceux qui ont étudié le piano "à l'ancienne" comprendront cette orthographe inhabituelle — un grand nombre d'exercices sans véritablement en comprendre le sens et, surtout, l'apport.

Bonne fin d'après-midi et bonne soirée.
Bien cordialement,
Borassus (espèce invasive s'il en est :-)

Bonsoir Ernst, bonsoir Yoshi, bonsoir à tous,

Ernst, ton calcul est absolument magnifique ! L'idée de considérer le nombre $e$ comme étant $(e^{\frac 1 x})^x$ est une véritable perle !

Pourquoi as-tu choisi $k = 2^{32}$, et non, par exemple $2^{16}$ ou $2^{26}$ ?

Toute petite rectification, si je peux me permettre : un nombre multiplié 32 fois par lui-même est égal à ce nombre élevé à la puissance... 33.  :-)
En effet, $v^2 = v \times v$ (le nombre est multiplié une fois par lui-même ; $v^3 = v \times v \times v$ (le nombre est multiplié deux fois par lui-même) ; etc.

Oui !!
Et ce qui est porteur aussi, c'est de ne pas prendre une formule à la lettre, et de la voir autrement.

PS : Ayant une connaissance très réduite de Python, je trouve que le langage Maple est plus intuitif que le langage Python.

Bonjour Bernard, et merci !

C'est bien ce qui me semblait : je suis ignare en expression de grands nombres !  :-)
(Je ne connaissais pas toutes ces désignations !)

Je vais donc essayer de traduire $2^{333}$ selon ce tableau.
Mais pas tout de suite car je compte profiter du beau temps pour faire une virée sur ma mignonne Orcal Astor vert anglais.

Si quelqu'un veut s'y coller ?  :-)

Hello Ernst,

Merci pour ces précisions, et pour ce nombre $2^{333}$ devant lequel on ne peut effectivement qu'être admiratif.

Je me suis amusé à le scinder en tranches de douze chiffres, chaque tranche étant elle-même scindée en groupes de trois chiffres :
17.498  005.798.264.095  394.980.017.816  940.970.922.825  355.447.145.699  491.406.164.851  279.623.993.595  007.385.788.105  416.184.430.592

La "lecture" de ce nombre donne
17 mille 498  de
5 milliards, 798 millions, 264 mille, 095  de
394 milliards, 980 millions, 17 mille 816  de
940 milliards, 970 millions, 922 mille, 825  de
355 milliards, 447 millions, 145 mille, 699  de
491 milliards, 406 millions, 164 mille, 851  de
279 milliards, 623 millions, 993 mille, 595  de
7 milliards, 385 millions, 788 mille, 105  de
de 416 milliards, 184 millions, 430 mille, 592

Effectivement « du fait des possibilités calculatoires actuelles, on peut manier de "grands nombres" mathématiques ne correspondant à aucune réalité physique, et pas vraiment appréhendables. »
Belle illustration !!

Bonne fin de soirée à tous, en espérant que vous n'aurez pas besoin de compter autant de moutons avant de vous endormir.  :-)

PS : J'essaiera tantôt de rendre le développement en série moins hermétique...

[Ajouté : ] PPSS : Je ne sais si ma lecture de ce nombre est conceptuellement pertinente. J'ai l'impression que non. Qu'en pensez-vous ?

Bonjour Michel, bonjour à tous,

Ô que merci de ton judicieux apport !
(J'étais triste de ne plus avoir le plaisir de bénéficier de tes réponses, chacune d'elles me faisant précieusement avancer dans mes compréhensions. Et pas seulement moi, d'ailleurs...)

Pour nos amis peu familiarisés avec les échelles logarithmiques, il faut lire le graphique comme suit : à, par exemple, la valeur $25$ sur l'axe des abscisses correspond la valeur $e^{25}$. La racine cubique de $e^{25}$ est égale à $4 \: 160$.

Comme les puissances de $e$ sont peu parlantes, j'ai converti les deux courbes en abscisses logarithmiques en base $10$ : à la valeur $5$ correspond $10^5$ ; à la valeur $10$ correspond $10^{10}$ ; etc.

J'ai ajouté les points pour lesquels la valeur de $\ln x$ est égale à 1% de celle de la racine cubique.
La ligne pointillée correspond à 0,1 % (soit un pour mille) de la valeur de la racine cubique. Celle-ci est égale à $31 \: 027$ et sort complètement de la fenêtre d'affichage.

[Ajouté :]On voit que, même en utilisant une échelle logarithmique, la fonction $\ln$ croît "extrêmement lentement".

PS : J'explique précisément la logique des logarithmes en demandant d'abord de placer sur un axe horizontal une échelle allant de $10^{-9}$ à $10^9$.
Puis de réaliser une échelle allant de $\dfrac 1 {512}$ à $512$, et de multiplier à la main, par exemple, $0,00390625 \times 128$ ...

Bonne et fructueuse journée à tous.

Ave Yoshissimus !

J'ai joliment souri en recevant ton entame.  :-)
Je vois tout à fait le chœur monumental qu'avait prévu Carl Orff scander
« Ave Borassissimo, desine nos vexare cum tuis nuntiis contradictionis! »
( « Salut Borassussimo, cesse de nous importuner avec tes messages de contestation ! »)
Traduction réalisée par ChatGPT.

Nous avons des façons d'expliquer qui se rejoignent dans notre désir de guider au mieux nos chers élèves.

Voici, dans la même lignée, un document de cours et une batterie d'exercices pour Erwin et pour ceux qui voudront bien les lire (et, surtout, refaire les exercices proposés par eux-mêmes ! ).

Bonne fin de soirée à tous.

Cours : https://www.cjoint.com/c/NHtvlL6TELD
Exercices : https://www.cjoint.com/c/NHtvmHy1exD

Bonjour Eust_4ache, Bonjour Zebulor, bonjour à tous,

Je remerciais dans mon précédent message du temps qu'on me consacre, aussi bien pour me lire que pour me répondre !

Là, Eust_4che, je te remercie à la puissance « promptitude qu'a Borassus de critiquer le programme » !!

Merci, non seulement pour le temps conséquent que tu m'as dédié, mais surtout de ce que tu m'as fait comprendre !
Tes explications sont pour moi une véritable commotion, et vont en grande partie retourner de fond en comble ma façon d'expliquer la fonction exponentielle de base $e$ et les logarithmes népériens, que ce soit oralement lors d'un cours particulier ou d'un stage de vacances —, ou que ce soit dans mon travail d'écriture

Effectivement, quand j'écris que la fonction exponentielle croît infiniment rapidement, c'est, implicitement, sans même m'en rendre, en comparaison avec les fonctions puissances, que je sais être des fonctions rapidement croissantes.

La croissance relative des fonctions $ln$, racine carrée, identité, carré, cube est très facilement visuellement perceptible :

La croissance relative entre la fonction exponentielle et les fonctions puissances n'est quant à elle pas du tout visuellement évidente, car on voit au départ deux courbes "très raides", dont la fonction puissance (à partir de 3) est d'ailleurs supérieure à la fonction exponentielle. La figure ci-dessous présente la fonction exponentielle et la fonction cube limitée aux valeurs positives.

Il faut remonter bien haut pour commencer à voir la courbe de l'exponentielle être au-dessus de la courbe de la fonction cube, et il faut remonter encore bien plus haut pour commencer à voir une différence de hauteur visuellement significative.

Donc, maintenant, grâce à tes explications patientes — merci encore Eust_4che, merci !! —, je vais expliquer comme suit la croissance de la fonction exponentielle :

Par rapport aux fonctions puissances, que chacun sait être des fonctions présentant des croissances qu'on peut considérer comme "rapides", et à partir d'une valeur qu'il est aisé de déterminer à l'aide de la calculatrice — il suffit de lui demander de résoudre l'équation $e^x = x^n$ —, toute fonction puissance, si élevé que soit l'exposant, devient négligeable devant la fonction exponentielle :
A valeur plus 5, la fonction puissance ne représente déjà que quelques pour cent de la fonction exponentielle.
A seulement valeur plus 20, le rapport entre la fonction puissance et la fonction exponentielle devient de l'ordre du dix-millionièmes !!

Cette très forte prédominance, à partir d'une certaine valeur, de la fonction exponentielle par rapport à n'importe quelle puissance est notée selon deux logiques inverses, suivant qu'on veuille mettre l'accent sur la prédominance de la fonction exponentielle, ou au contraire sur la négligeabilité de la fonction puissance par rapport à la fonction exponentielle :

$\lim \limits_{x \to +\infty} \dfrac {e^x}{x^n} = + \infty$

ou

$\lim \limits_{x \to +\infty} \dfrac {x^n}{e^x} = 0$

Important : Il ne faut pas interpréter au pied de la lettre $x \to +\infty$ et $= +\infty$ comme « tendant vers de grands nombres » ou « atteignant de grands nombres » [c'est précisément cette interprétation qui a généré mon "ruage" dans les brancards à l'origine de tous ces échanges !], mais plutôt comme « à partir d'un certain nombre, lorsque la variable croît » et « devient de plus en plus important ».

Eust_4che, tu m'as permis de faire la synthèse entre une notation qui me hérissait et que j'estimais relevant "d'un non sens total" et la réalité irréfutable affichée par la calculatrice !!

Logique inverse : Puisque les fonctions logarithme népérien exponentielle de base $e$ sont réciproques l'une de l'autre, toute racine n-ième, si élevé que soit $n$, est à partir d'une certaine valeur prédominante par rapport à la fonction logarithme népérien, ce qui peut aussi se traduire par le fait qu'à partir d'une certaine valeur, la fonction logarithme népérien devient négligeable par rapport à n'importe quelle racine.

Ce qui, selon les deux approches, se traduit par

$\lim \limits_{x \to +\infty} \dfrac {\sqrt[n] x}{\ln x} = +\infty$

ou

$\lim \limits_{x \to +\infty} \dfrac {\ln x}{\sqrt[n] x} = 0$

Sur ce, je dois déjeuner et me rendre à mon premier cours de l'année (même élèves pendant toute la semaine).
Je crois que cette discussion va connaître encore quelques (fructueux) échanges !..

Merci encore !

Bonne après-midi à tous.

Bonjour Eust_4che,

Ah oui ! dans ma liste j'avais oublié $x^n$.

C'est hallucinant !!!
743 325 itérations pour simplement obtenir CINQ décimales !!!

Je n'imaginais absolument pas qu'il faudrait un TEL nombre d'itérations !!

Combien alors faut-il d'itérations pour obtenir 100 décimales ???

Fichtre !
Que voilà une réponse cinglante qui, indéniablement, donne matière à réflexion !
Merci !

Bon week-end (désénervé :-) à toi également.