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#1 Re : Entraide (supérieur) » Méthode variation de la constante » 15-11-2022 16:12:20
En effet, au temps pour moi, mon erreur était grossière. J'ai pu rédiger une preuve exacte en utilisant l'argument utilisant la formule de la comatrice comme vous me l'avez fait remarquer. Je vous remercie encore une fois de votre aide.
Bonne journée
#2 Re : Entraide (supérieur) » Méthode variation de la constante » 15-11-2022 12:49:41
Bonjour,
Poser le problème matriciellement simplifie en effet la vision du problème. Vue comme cela le problème parait en effet plus clair.
Je vois comment montrer que $t\rightarrow M(t)$ est de classe $C^1(I,F)$, car $ (\varphi_1,..., \varphi_n)$ sont chacune de classe $C^1(I,F)$. Je comprends aussi pourquoi pour un $t$ donné $M(t)$ soit inversible. Il ne reste donc plus que à montrer que $t\rightarrow M^{-1}(t)$ est de classe $C^1(I,F)$ :
L'on peut, peut-être, poser l'application $f:\,t\rightarrow M^{-1}(t)M(t)$ l'on a donc $f=I_n$ or l'application $t\rightarrow I_n$ est une constante de classe au moins $C^1(I,F)$. L'on a donc un produit deux fonctions $t\rightarrow M^{-1}(t)$ et $t\rightarrow M(t)$ dont le produit est de classe $C^1(I,F)$ et avec une des deux fonctions du produit de classe $C^1(I,F)$. L'on a donc nécessairement $t\rightarrow M^{-1}(t)$ de classe $C^1(I,F)$. Je crois ce raisonnement correct sauf erreur de ma part.
Concernant la notion de fonctions implicites, celle-ci ne semble pas figurer pas dans mon programme (spé MP). Cependant il serait intéressant que je l'aborde tout de même.
Je tenais à vous remercier pour votre réponse. J'étais désespéré, ce problème a vraiment joué avec mes nerfs. Merci encore
#3 Entraide (supérieur) » Méthode variation de la constante » 14-11-2022 19:27:51
- integraal
- Réponses : 4
Bonjour,
J'aurais une question à vous soumettre. J'essaye de démontrer la propriété suivante :
Posons $I$ un intervalle quelconque de $\mathbf{R}$ non réduit à un point et $F$ un $\mathbf{K}$ espace vectoriel de dimension $n$ avec $\mathbf{K}$ le corps des réels ou complexes. Posons l'équation différentielle $ \varphi'(t) = a(t)(\varphi(t))+b(t) \,l'équation\,(E)$ avec $a$ continue de $I$ dans dans $\mathbf{L}(F)$ et $b$ continue de de $I$ dans $F$.
On veut montrer la propriété suivante : Soit $(\varphi_1, ... , \varphi_n)$ un système fondamental de solutions de l'équations homogène. $\forall\phi\in{C^{1}(I,F)}$ Il existe une unique famille $(\lambda_1, ... , \lambda_n)$ de $\mathbf{C}(I,\mathbf{K})$ telle que : $ \phi \,=\, \sum_{i=1}^n \lambda_i \varphi_i $
Voici les pistes que j'ai jusqu'à présent explorées, sans pouvoir aboutir :
Soit $S_0$ l'espace vectoriel des solutions homogène. On peut alors pour $t$ dans $I$ poser l'application $\delta$ de $S_0$ dans $F$ qui à $\varphi$ associe $\varphi(t)$. On sait que cette application est un isomorphisme d'e-v d'après Cauchy Lipschitz. Soit une base de $S_0$ notée $(\varphi_1,...,\varphi_n)$. Pour tout $t \in{I}$ on a $(\varphi_1(t), ... , \varphi_n(t))$ une base de $F$ car $ \delta$ est un isomorphisme .On pose $(\lambda_1, ... , \lambda_n)$ une famille d'application de $I$ dans $K$ telle que pour tout $i \in{\{1,..n\}}$ et pour tout $t \in{I}$, on a $\lambda_i(t) \,=\, \lambda_{i,t}$ avec $\lambda_{i,t}$ satisfaisant $\phi(t)\,=\, \sum_{i=1}^n \lambda_{i,t} \varphi_i(t) $. On a donc bien défini une famille $(\lambda_1, ... , \lambda_n)$ de fonctions satisfaisant $ \phi \,=\, \sum_{i=1}^n \lambda_i \varphi_i $ mais je ne vois pas comment démontrer que cette famille est dans $C^1(I,K)$. Autant la continuité peut-être mais je n'arrive pas à montrer la dérivabilité ni la continuité de la dérivé. Je ne sais pas si ma démarche est la bonne ou si je me fourvoie complètement. Peut être y a t-il une erreur dans l'énoncé du cours. Je désespère.
Merci d'avance
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