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Bonjour,

Soit $a$ et $b$ deux réels de l'intervalle $] 4 ;+\infty[$ et on considère les deux équations :
$$
(E): x^2+a x+b=0 \quad \text { et }(F): x^2+b x+a=0
$$
Soit $\Delta_1$ le discriminant de $(E)$ et $\Delta_2$ celui de $(F)$ et les propositions : $P_1: « \Delta_1 \geq 0$ » et $P_2: « \Delta_2 \geq 0$ ". Montrer que la proposition $\left(P_1\right.$ ou $\left.P_2\right)$ est vraie.
Recurrence :
Initialisation : pour a = b = 4, on a $\Delta_1 = \Delta_2 = 0$ et donc $P_1$ et $P_2$ sont vraies.
Hérédité : supposons que la proposition soit vraie pour un couple (a, b) tel que a, b > 4. Montrons qu'elle reste vraie pour le couple (a+1, b+1). On a $\Delta_1(a+1, b+1) = (a+1)^2 - 4(b+1) = \Delta_1(a, b) + 2(a-b) - 3$ et $\Delta_2(a+1, b+1) = (b+1)^2 - 4(a+1) = \Delta_2(a, b) + 2(b-a) - 3$.

Si a - b = 0, alors $\Delta_1(a+1, b+1) = \Delta_2(a+1, b+1) = -3 < 0$ et donc ni $P_1$ ni $P_2$ ne sont vraies. Mais dans ce cas, on a a = b = 4 et on sort de l'intervalle $]4; +\infty[$, ce qui est absurde.

Si a - b > 0, alors $\Delta_1(a+1, b+1) > 0$ et donc $P_1$ est vraie. Si a - b < 0, alors $\Delta_2(a+1, b+1) > 0$ et donc $P_2$ est vraie. Dans les deux cas, la proposition ($P_1$ ou $P_2$) est vraie.

Conclusion : par le principe de récurrence, la proposition est vraie pour tout couple (a, b) tel que a, b > 4.
Méthode 2 : Disjonction des cas

Pour prouver la proposition ($P_1$ ou $P_2$), nous pouvons utiliser la disjonction des cas sur la valeur de a - b. Si a - b = 0, alors $\Delta_1 = \Delta_2 = 0$ et donc $P_1$ et $P_2$ sont vraies. Si a - b > 0, alors $\Delta_1 = a^2 - 4b > 0$ et donc $P_1$ est vraie. Si a - b < 0, alors $\Delta_2 = b^2 - 4a > 0$ et donc $P_2$ est vraie. Dans tous les cas, la proposition ($P_1$ ou $P_2$) est vraie.
Cela est-il vrai?

Merci