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Bonjour, ok merci

Voici le dernier exercice:

Soit f la fonction numérique définie sur R par:

f(x)=  [tex]\frac{{x}^{3}-{\,x}^{2}+\,3x\,+5}{{x}^{2}+3}[/tex]

On désigne par c sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité: 1 cm sur les deux axes).

1.Déterminer lim f en +oo et -oo

2.Démontrer que l'on peut écrire :
[tex]f\left(x\right)=x-1+\frac{8}{{x}^{2}+3}[/tex]

3.Soit d la droite d'équation y=x-1

a)Etudier la position de C par rapport à la droite d.
b)Détérminer le plus petit naturel n tel que:
Si x [tex]>[/tex] n, alors f(x)-(x-1) [tex]<[/tex] 0.001
c)Démontrer que la droite d est asymptote à la courbe C.

4.On considère l'équation f(x)=0.
Démontrer que -1 est l'unique solution de cette équation.

5.On considère l'équation f(x)=3
Démontrer qu'elle admet une unique solution alpha.Par la méthode balayage, donner un encadrement de alpha d'amplitude 0.001.

6.Montrer que  [tex]f\left(x\right)-2=\frac{{\left(x-1\right)}^{3}}{{x}^{2}+3}[/tex]
En déduire la solution de l'équation f(x)=2 et la postion de la courbe C par rapport à la droite d'équation y=2.

7.Dans le repère du plan, tracer les droites d et d' puis la courbe représentative de f.

J'ai réussi à faire la 1 et la 2 mais à partir de la 3 je n'y arrive plus.

Merci d'avance pour votre aide.

Merci, j'ai compris.

Exercice B:

Pour chacune des affirmations ci dessous, précisez si elle est vraie ou fausse. Si c'est vrai, citez le théorème utilisé, sinon, donner un contre exemple.

1.Si a est un nombre réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante sur ]a;+oo[, alors  [tex]\lim_{x\to -\infty}f\left(x\right)=\,-\infty[/tex]

2.Soit f et g deux fonctions définies sur [0; +oo[, g ne s'annulant pas.
Si  [tex]\lim_{x\to +\infty}f\left(x\right)=\,-\infty[/tex] et si  [tex]\lim_{x\to +\,oo}g\left(x\right)=\,+\infty[/tex] alors  [tex]\lim_{x\to +\infty}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\,-1[/tex]

3.Si f est une fonction définie sur [0; +oo[ telle que  [tex]0\leq f\left(x\right)\leq \sqrt{x}[/tex] sur [0;+oo[ alors  [tex]\lim_{x\to +\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\,0[/tex]

Pour le 1) j'ai trouvé faux avec comme exemple  [tex]\frac{1}{x}[/tex]  sinon pour le 2 et 3 je n'y arrive vraiment pas.

Merci d'avance pour votre aide.

Bonsoir,

a)J'ai calculer les limites en + et - l'infini mais je ne comprend pas ce qu'il faut faire ensuite . C'est la première fois que je vois la notion de conjecture.

b)C'est ok.

c)j'ai développé mais ensuite je n'y arrive pas. Par ailleurs, je ne savais pas qu'on pouvait utiliser la dérivé pour obtenir un solution.

Merci d'avance.