Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Il est faux de dire que chacun des $x_k$ est de module $1$. Si je prend comme $x_k = \dfrac{1}{(n+1)^q}$ (qui est possible puisque $q$ est fixé). Alors la somme fait $1$.

Par contre, $\vert x_k\vert^p\le \vert x_k\vert^q$ est vraie sans supposer que ça vaut $1$. Donc le reste doit marcher

Bonjour,

En lisant ton message zizou269, ça me fait penser à $\langle {2,3,4} \rangle = \langle {2,3}\rangle$ sans même savoir que l'un ou l'autre est égal à $\mathbb{Z}$, car $4$ est généré par $2$ (avec les opérations de notre groupe).

Mais le sous-groupe engendré est le même.

"Simplifier" $\langle {2,3,4} \rangle$ en $\langle {2,3}\rangle$ est en fait une question d'une sorte de liberté (ici, dans la théorie des $\mathbb{Z}-$modules), mais dans le cadre des espaces vectoriels (où un sous-groupe engendré devient un Vect (je rappelle que $\mathrm{Vect}(A)$=sous-espace vectoriel engendré par une partie $A$)), et bien
$\mathrm{Vect}((1,0),(0,1),(1,1)) = \mathrm{Vect}((1,0),(0,1))$, le dernier vecteur $(1,1)$ ne servant à rien car généré par $((1,0),(0,1))$.

Bonjour,

Très souvent, lorsque l'on ne précise pas la loi du groupe, et que ce groupe n'est pas commutatif (ou abélien), le groupe est doté d'une loi multiplicative. (si c'est abélien, souvent, le groupe est additif). Donc les définitions utilisent beaucoup plus souvent la notation multiplicative qu'autre chose.

Ensuite, le sous-groupe engendré par une partie peut (conséquence directe de la définition) se caractériser par l'ensemble des résultats des opérations du groupe que l'on peut faire avec TOUS les éléments de ta partie. Par opération dans un groupe, on entend donc la multiplication, et l'inverse.

Je me permets de modifier un peu ta définition :
$\langle S\rangle = \{x_1^{\varepsilon_1}\times\cdots\times x_n^{\varepsilon_n}~:~n\in\mathbb{N}^*\text{ et } \forall i\in[\![1,n]\!], x_i\in S, \varepsilon_i =\pm 1\}$

Peut-être qu'avec celle-là, tu vois mieux ce qu'il se passe.
Quant à l'exemple, mettons comme groupe $G:=(\mathbb{Z},+)$, et comme partie $S:=\{2,3\}$. Alors $\langle \{2,3\}\rangle$ est l'ensemble des éléments qui s'écrivent comme somme de $2$, de $3$, de $-2$ et de $-3$, i.e. (en factorisant), les éléments qui s'écrivent $2k+3l, (k,l)\in\mathbb{Z}^2$. (Par le théorème de Bachet-Bezout, on voit que $\langle \{2,3\}\rangle=\mathbb{Z}$ mais ça, c'est une autre histoire).

Peut-être un autre exemple sur un groupe fini : $\mathbb{Z}/\mathbb{7Z}\backslash\{0\}$ doté d'une loi multiplicative. Comme c'est un groupe fini, on n'a pas besoin de prendre les inverses : l'inverse d'un élément $x$ de $S$ est une puissance de $x$ (en fait, on a l'inverse en remarquant que $x^{-1} = x^{d-1}$, où $d$ désigne l'ordre de $x$). De fait, il suffit de prendre l'ensemble des produits d'éléments de $S$.

Imaginons, $S=\{2,3\}$. Alors je calcule toutes les puissances de $2$ et de $3$, $\textit{i.e.}$ les $2^k3^l$ avec $(k,l)\in$$\mathbb{N}^2$. J'ai donc $S=2^k3^l~:~(k,l)\in$$\mathbb{N}^2$. ($S=\{1=2^0,2=2^1,3=3^1,4=2^2,5=2^2\times 3,6=2\times 3\}=G$).
L'exemple est un peu débile puisque $\langle\{3\}\rangle=G$ mais bon.