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#1 Re : Entraide (supérieur) » sous groupe engendré par une partie » 24-05-2022 11:03:52
Bonjour,
Ce que j'essaie de dire par là (peut être maladroitement), c'est que dans mon $\langle S \rangle$, je ne risque jamais d'avoir un $2$ et un $4$ à la fois, sinon par minimalité $\langle S \rangle$ ne serait pas le plus petit, donc considérer le produit des éléments de S a bien un sens.
merci Tof pour la fin de la preuve
#2 Re : Entraide (supérieur) » sous groupe engendré par une partie » 23-05-2022 09:40:42
Bonjour,
J'y vois beaucoup plus clair Oreki avec votre définition, avoir un élément $x_i$ dans le $\langle S\rangle$ nous assure qu'on y a aussi son inverse en faisant des congruences modulo $n$ ( dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ par exemple) et pour pouvoir reconstituer tous les éléments de $\langle S\rangle$ je dois l'ecrire comme $x_1^{\alpha_1}\times ...\times x_i^{\alpha_i}$.
Une remarque me saute aux yeux, par définition du $\langle S\rangle$ je suis assuré que ses éléments sont tous premiers entre eux sinon il existerait un plus petit $\langle S\rangle$, donc ce produit a bien un sens (c'est peut être ce que vous insuniez en disant
$\langle \{2,3\}\rangle = \mathbb{Z}$, il existe donc $(u,v) \in \mathbb{Z}^2$ tq $2u+3v=1$..., d'ailleurs $3-2=1$ est un générateur de $\mathbb{Z}$.
Merci @Tof pour votre remarque, l'existence découle d'une propriété encore plus forte, je pense avoir tout compris, je vais creuser tout ça.
Merci encore pour votre aide
#3 Entraide (supérieur) » sous groupe engendré par une partie » 22-05-2022 16:10:44
- zizou269
- Réponses : 10
Bonjour,
j'ai du mal a comprendre une propriété sur le sous groupe engendré par une partie.
Je pense avoir compris la définition du sous groupe engendré par une partie qui est l'unique sous groupe de $\mathbf{G}$ contenant $\mathbf{S}$ ( au sens de l'inclusion). l'existence venant du fait que l'intersection $\mathbf{I}$ de tous les sous groupes de $\mathbf{G}$ contenant $\mathbf{S}$ est non vide ( contient par exemple $e_G$) et l'unicité venant d'une double inclusion, on suppose qu'il existe $\mathbf{I'}$ plus petit sous groupe de $\mathbf{G}$ contenant $\mathbf{S}$, alors $\mathbf{I'} \subset \mathbf{I}$ et $\mathbf{I} \subset \mathbf{I'}$ car $\mathbf{I'}$ est dans l'intersection definissant $\mathbf{I}$.
J'ai beaucoup plus de mal a comprendre la proprieté suivante : Si $\mathbf{S}$ partie non vide d'un groupe $(\mathbf{G}, \times)$.
$<\mathbf{S}> = \{a_1...a_n, n \in \mathbb{N^*}, \forall i \in [1;n], a_i \in \mathbf{S}$ ou $a_i^{-1} \in \mathbf{S} \}$.
Pourquoi $<\mathbf{S}>$ est formé des produits de $a_i$ (je suppose que c'est du au fait que $\mathbf{G}$ est multiplicatif mais je m'en persuade pas), ensuite dans un groupe chaque élèment $a_i$ doit aussi avoir son inverse dedans donc pourquoi on a $a_i \in \mathbf{S}$ ou $a_i^{-1} \in \mathbf{S}$ et pas les deux à la fois ? Auriez vous un exemple ?
Merci d'avance pour votre aide.
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