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Par définition, une fonction est continue en un point [tex]a[/tex] si on a la propriété suivante :

[tex]lim_{x \to a} f(x) = f(a)[/tex]

Donc, il faut que la fonction soit définie en [tex]a[/tex] pour que l'égalité tienne, ce qui n'est pas le cas pour [tex]\log(a)[/tex] avec [tex]a = 0[/tex].
Donc oui si une fonction n'est pas définie en un point, il me semble logique qu'elle ne puisse pas être continue :)