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#1 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme : l'éléphant aux bananes » 16-05-2010 12:59:29
Bonjour à tous,
On m'a enfin donné une réponse par mail et la formule précédente est fausse, je vous explique comment on a trouvé la nouvelle formule:
Voici une formule qui généralise toutes les conditions:
1001*i > ou = U(n) (=) i > OU = U(n)/1001 (ici on ne change pas le signe de l'inéquation car 1001 est positif)
Or i appartient à l'ensemble des naturels {0,1,2,3...., (i-2),(i-1),i} et indique le nombre de voyages pour transporter le plus de bananes au km n.
Donc on peut réécrire ces conditions par la formule suivantes:
i = ceil(U(n)/1001) = arrondi.sup(U(n)/1001;0)
(le ";0" indique qu'on demande un nombre appartenant à l'ensemble des naturels)
Maintenant pour résoudre cette énigme on va utiliser la formule suivante:
U(n+1)= U(n)-2*i+1
Or nous connaissons la valeur de i.
Il suffit de la remplacer dans l'équation: U(n+1) = U(n)-2*ceil(U(n)/1001)+1
On peut aussi l'écrire: U(n+1) = U(n)-2*arrondi.sup(U(n)/1001)+1
Pour vous montrer qu'elle est vraie essayons de répondre aux questions suivantes:
1)combien de bananes au maximum le planteur pourra t-il placer sur le marché avec 5000 bananes?
2)reprendre la même question avec 3000, 10000 bananes, 15000 bananes et 25000 bananes
3) calculer le coefficient de perdition pour chaque cas. Après ça, que peut-on conclure quant au coefficient de perdition lorsque le nombre de bananes augmente?
Réponse:
1) Si nous avons 5000 bananes = U(0) et que nous calculons cette suite sur excel ou sur une calculette vous obtiendrez, U(1000)= 788
Avec Excel vous mettez dans la case A1, la valeurs de U(0)
Puis dans la case A2 vous mettez: =A1-2*arrondi.sup(A1/1001;0)+1
Ensuite, vous allez en bas à droite de la case A2, ça se transforme en petite croix noir, et vous faites un cliquer-glisser jusqu'à A1001
2) A) avec 3000= U(0), on aura U(1000)=534
B) avec 10000, on aura U(1000)= 1400
C) avec 15000, on aura U(1000)= 2012
D) avec 25000 bananes, on aura U(1000)= 3406
3) D'abord le coefficient de perdition (CP) c'est le nombres de bananes consommées par l'éléphant sur le nombre de bananes produites:
A) avec 5000 bananes: CP = 5000-788/ 5000 (=) CP = 4212/5000
B) avec 3000 bananes: CP = 3000-534/ 3000 (=) CP = 2466/3000
C) avec 10000 bananes: CP = 10000-1400/ 10000 (=) CP = 8600/10000
D) avec 15000 bananes: CP = 15000-2012/ 15000 (=) CP = 12988/15000
E) avec 25000 bananes: CP = 25000-3406/ 25000 (=) CP = 21594/25000
Par contre est-ce que quelqu'un a une idées pour la conclusion du CP? Êtes-vous d'accord avec ce que j'ai mis?
Un tout grand merci d'avance
#2 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme : l'éléphant aux bananes » 14-05-2010 20:12:52
Bonjour,
Je réponds à tes questions:
1) n désigne la position de l'éléphant (exemple si n=0, il se trouve au point initial, si n vaut 1 il se trouve au km 1, si n = 2 il se trouve au km 2,... jusqu'à n= 1000 il se trouvera au point final, donc à sa destination). Attention n appartient à l'ensemble des naturels (0, 1, 2, 3...).
2) U(n) désigne le nombre de bananes ainsi transportées au km n. U(n) est également le symbole des suites définies par une relation de récurrence
As tu compris?
Encore merci d'avance
#3 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme : l'éléphant aux bananes » 14-05-2010 09:38:25
Bonjour à tous,
J'ai trouvé dans d'autres sites ce qui a permis de trouver la formule mais je comprend pas comment on est passé de:
"Conditions:
1) si U(n)<=1001 , alors un seul voyage suffit pour transporter le stock restant ( grace à l'astuce de la banane mangée avant de partir )
et donc
U(n+1)=U(n)-1 ( une banane perdue par km parcouru )
2) si 1001<U(n )<=2002 , il faut 2 voyages minimum ( toujours avec la banane avant le depart , deux fois de suite ).
et on retrouve donc
U(n+1)=U(n)-3 ( une banane perdue à chaque km sur deux aller et un retour )
3) enfin si 2002<U(n) il faut 3 voyages et
U(n+1)=U(n)-5 ( trois allers et 2 retours )"
à cette formule qui permet de satisfaire ces trois conditions en une seule écriture "U(n+1)=U(n)-2*ceil((Un-1001.)/(1002.))-1"
Ensuite pouvez-vous me dire comment on calcule cette formule:
"U(n+1)=U(n)-2*ceil((Un-1001.)/(1002.))-1"
si possible avec excel sinon par calcule écrit?
Un tout grand merci d'avance.
#4 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme : l'éléphant aux bananes » 01-05-2010 11:10:47
Bonjour, comme beaucoup d'autres personnes cette énigmes m'a posé énormément de difficultés mais elle est très amusante. Voici la solution de cette énigmes en utilisant les maths qui est sur beaucoup de sites mais dont je ne comprends pas une étape:
Traduction mathématique:
=====================
On peut montrer qu'une stratégie optimale pour porter le maximum de bananes sur (n+1) Km est de porter d'abord un max de bananes au nième Km, puis de porter ces bananes du Km n au Km (n+1) (par plusieurs allers-retours). On peut alors trouver la relation entre U(n+1) et U(n).
C'est là un problème connu dont voici un algorithme donnant une solution optimale:
L'éléphant fait d'abord des allers-retours entre le point de départ et le km 1 de façon à transporter toutes les bananes au km 1. Puis il recommence entre le km 1 et le km 2 et ainsi de suite .... Nous allons donc utiliser "les suites définies par une relation de récurrence" pour résoudre cette énigme.
Si Un est le nombre de bananes ainsi transportées au km n, on a:
U0 = 3000
U(n+1) = Un-2*ceil((Un-1001.)/(1002.))-1
(ceil désigne l'entier immédiatement supérieur)
Avec une calculette ou Excel on trouve U1000 = 534 bananes.
Pouvez vous m'expliquer cette étape: "U(n+1) = Un-2*ceil((Un-1001.)/(1002.))-1" et comment la calculer avec excel?
Un tout grand merci d'avance
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