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Bonjour,

Je ne comprends pas le "donc" de la phrase suivante :

Zarathoustram a écrit :

Comme $\| (u_n^k)_n \|_p < \infty$, on a que $u_n^k \longrightarrow 0$ lorsque $n \longrightarrow \infty$, donc $u_n \longrightarrow 0$ pour $n \longrightarrow \infty$.

Si on veut prouver que $u_n^k\to 0$ entraîne $u_n\to 0$, on va avoir besoin de quantificateurs.
Ce que tu proposes ensuite n'est pas correct non plus, car tu échanges deux symboles limites, et ceci n'est pas non plus autorisé sans précautions applinked.

Il faut vraiment aller au plus près des choses et utiliser des quantificateurs, et réutiliser que la suite est de Cauchy. Je commence pour toi. On fixe $\epsilon>0$. Puisque $(u_n^k)_k$ est de Cauchy, il existe $k_0$ tel que, pour tout $k,l\geq k_0$, et pour tout $N\in\mathbb N$, on a
$$\sum_{n=0}^N |u_n^k-u_n^l|^p \leq\epsilon.$$

Et dans cette somme finie, tu peux faire tendre $l$ vers l'infini.....

F.