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#1 Entraide (supérieur) » Quotient de U(m) par U(m-1) » 20-06-2021 13:48:55
- Dalexand
- Réponses : 1
Bonjour !
Au sein d’un cours, le prof a écrit que le quotient $\mathbb{U}(m)/\mathbb{U}(m-1)$ était exactement la sphère unité $S^{2m-1}$.
Je précise que $\mathbb{U}(n)$ fait référence au groupe des matrices unitaires d’ordre n et que l’on peut voir $\mathbb{U}(m-1)$ comme un sous-groupe de $\mathbb{U}(m)$, comme l’ensemble des $\pmatrix{U & 0 \\ 0 & 1}$ où U est dans $\mathbb{U}(m-1)$.
J’ai tenté quelques calculs pour trouver ce résultat mais je ne vois pas trop au final...
Quelqu’un pourrait-il me proposer une piste ?
Merci d’avance !
#2 Re : Entraide (supérieur) » Groupes d’homotopie des sphères (morceau simple) » 01-06-2021 11:14:49
C’est bien compris.
Merci beaucoup pour cette précieuse !
#3 Entraide (supérieur) » Groupes d’homotopie des sphères (morceau simple) » 31-05-2021 14:12:59
- Dalexand
- Réponses : 2
Bonjour,
Dans le cadre d’un stage, je suis amené à étudier certains groupes d’homotopies de sphères. Le seul résultat que je cherche à prouver est le suivant :
$\Pi_k(S^n)$ est trivial pour tout k<n.
J’ai trouvé une preuve de ce résultat dont une partie m’échappe.
On prend donc une application continue $f : S^k \longrightarrow S^n$.
On réussit à montrer qu’elle est homotope à une application $g$ $C^1$ (grâce à la compacité de $S^k$ mais bref).
Ensuite, on veut montrer que $g$ n’est pas surjective (ce qui n’était pas forcément le cas de $f$). Pour cela, il est écrit, et c’est ce qui m’échappe, que $g(S^k)$ est de mesure nulle dans $S^n$...
Cela implique que $g$ est non surjective, on peut alors prendre $p \notin g(S^k)$ et comme $S^n$\{p} est contractile, $g$ est homotope à une application constante et c’est gagné !
Le seul point qui m’échappe est donc $g(S^k)$ est de mesure nulle dans $S^n$.
Merci beaucoup pour votre aide !
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