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#1 Entraide (supérieur) » Variable aléatoire sans densité » 21-04-2021 20:07:10
- Louis38000
- Réponses : 1
Bonjour/Bonsoir tout le monde.
Je me posais une question : existe-t-il une variable aléatoire réelle X telle que P(X=x)=0 pour tout x mais telle que X n'admette pas de densité.
Je me disais qu'une telle variable aléatoire devrait admettre une fonction de répartition continue mais dérivable presque nul part, sans pour autant que cela soit suffisant.
La question est sans doute bête, mais si quelqu'un avait une idée..:)
Bonne journée / Bonne soirée.
#2 Re : Entraide (supérieur) » Une autre expression de f(x) » 18-04-2021 16:08:16
Bonjour, tout d'abord merci pour votre aide.
Cependant, j'ai vraiment du mal à comprendre pourquoi le terme de droite tend vers 0 quand n tend vers l'infini.Le seul résultat qui me semble clair est la convergence de la série q étant bornée, on peut écrire [tex]e^{-\lambda n} \vert \sum_{k\geq 0}\frac{(\lambda n )^k}{k!}q(n,k)\vert \leq e^{-\lambda n} \sum_{k\geq 0}\vert \frac{(\lambda n )^k}{k!}q(n,k)\vert \leq e^{-\lambda n} A \sum_{k\geq 0}\frac{(\lambda n )^k}{k!} =A[/tex].
Cependant, je n'arrive pas à trouver en quoi une telle majoration peut m'aider à prouver que cette serie tend vers 0 quand n tend vers l'infini ( car A ne dépend pas de n).
J'imagine que l'hypothèse de continuité de f doit être nécessaire selon l'énoncé donc peut-être utilisé le fait que pour tout k, q(n,k) tend vers f(0)-f(lambda) mais je ne vois pas en quoi cela pourrait être utile...
#3 Entraide (supérieur) » Une autre expression de f(x) » 17-04-2021 12:55:27
- Louis38000
- Réponses : 4
Bonjour tout le monde.
Je cherche à prouver que pour une fonction f continue et bornée, pour [tex]\lambda > 0[/tex] on a la relation :
[tex]\lim\limits_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda n}\frac{(\lambda n)^k}{k!}f(\frac{k}{n})=f (\lambda)[/tex].
J'ai tenté plusieurs chose comme un changement de variable "naif" [tex]u=\lambda n[/tex], sans arriver à quelque chose d'intéressant.
J'ai aussi exprimé l'expression précédente comme étant [tex]\lim\limits_{n \to \infty}\mathbb{E}[f(\frac{X_n}{n})] [/tex] où X_n suit une loi de Poisson de paramètre [tex]\lambda n[/tex] mais je n'arrive pas à arriver au résultat.
En fait, j'arrive mal à voir comment faire apparaitre [tex]f(\lambda)[/tex] dans mon calcul, j'imagine qu'il faut utiliser la continuité de f, mais je reste bloqué très tôt dans mes calculs, je n'arrive pas à trouver la bonne piste.
Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait vraiment sympa :).
Bonne journée.
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