Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut,

Merci pour ta réponse. C'est probablement parce que je suis pas encore assez familier avec le sujet que ma première assertion me semble avoir des airs de circularité.

~Au départ, pour une suite dans $\mathbb{Q}$,  il n'y a pas de notion de convergence "à cheval" entre les rationnels, alors seuls connus, et les réels qu'on a voulu fabriquer avec.
 
Donc, moralement :
  $\mathbb{\bullet}$  on commence par n'avoir que les rationnels,
  $\mathbb{\bullet}$  dont on peut construire des suites qui "convergent" (à l'aide d'epsilonneries sur la métrique "usuelle"...) vers des objets inconnus,
  $\mathbb{\bullet}$  on considère chacun de ces inconnus comme étant représenté par la suite qui le pointe du doigt,
  $\mathbb{\bullet}$  on appelle chacune de ces suites un "réel";
  $\mathbb{\bullet}$  on se rend compte que tout rationnel pour être aussi représenté de cette manière.

Ainsi
"toute suite de Cauchy de rationnels converge dans $\mathbb{R}$ vers le nombre réel qu'elle représente"
=
"toute suite de Cauchy de rationnels représente un truc, et converge dans l'ensemble des ces trucs vers son truc".
(excuse ma vulgarité)

Si c'est à peu près correct, je n'arrive pas à me défaire de l'impression que le derrière le le mot "représente" on cache celui de "convergence", auquel cas une preuve (du lemme 5) me semble superflue: ce serait vrai par définition de ce qu'est un réel.

Bien à toi,

Tougue