Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour, j’ai ce dm à rendre avant lundi. J’ai vraiment beaucoup de difficultés dans cette matière. Donc les choses qui peuvent vous sembler évidentes sont parfois très difficiles pour moi.

Je vous met le sujet ici : https://ibb.co/x1jkGm6

Et pour l’instant je n’ai réussi à faire que la première question.
Si y’a en ici qui sont veulent bien m’aider avec réponses assez détaillées ou simplement des indications pour que puisse le faire.

Bonjour, si quelqu’un peut m’aider avec des indications pour commencer ce dm. Merci

Soit p un nombre premier. Le but de ce devoir est de démontrer le théorème suivant
(T) Tout groupe abélien d’ordre divisible par p contient un sous-groupe d’ordre p.
Le cardinal d’un ensemble fini E est noté |E|.

1. Soit f : G → G′ un morphisme de groupes surjectif, dont le noyau est noté K := {g ∈ G/f(g) = e′}.

(a) Démontrer que pour tout g′ dans G′, la pré-image
f^(−1)({g′}) := {g ∈ G / f(g) = g′}
est en bijection avec K.

(b) En déduire que si G et G′ sont finis, alors |G| = |K||G′|.
2. Dans ce qui suit, (G,+,0) désigne un groupe abélien fini, d’ordre n divisible par p. Démontrer que G admet un sous-groupe d’ordre p si et seulement si G contient un élément d’ordre divisible par p.

3. Démontrons le théorème (T) par l’absurde.

Supposons que G n’admet aucun sous-groupe d’ordre p et notons g1, ..., gn ses n éléments, d’ordres respectifs m1, ..., mn.
(a) Soit m le plus petit multiple commun de m1, ..., mn. Justifier que m est premier avec p.

(b) Démontrer que l’application f : (Z/mZ)^n → G définie par f([a1],··· ,[an]) := g1^a1 ···gn^an est un homomorphisme de groupes bien défini et surjectif.

(c) En déduire que n divise m^n et aboutir à une contradiction. Conclure.