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Etant donné un espace vectoriel V sur le corps K, on appelle involution de V tout endomorphisme a de V tel que a◦a(v)=v pour tout v∈V. Danstoutle devoir on note K un corps (avec K = R `a partir de la question 7), on note V un espace vectoriel sur K et on note a une involution de V .

1. Montrer que a est bijective.

2. On définit deux parties de V par les formules

V1 ={v∈V /a(v)=v}, V−1 ={v∈V /a(v)=−v}. Montrer que V1 et V−1 sont des sous-espaces vectoriels de V .

3. Montrer que V = V1 ⊕ V−1.

Désormais on appelle b une seconde involution de V . Selon ce qui vient d'être démontré, b est bijective et on a V = W1 ⊕ W−1 ou` l’on a posée

W1 ={v∈V /b(v)=v}, W−1 ={v∈V /b(v)=−v}.

On supposera que a et b anticommutent, c’est-à-dire que a ◦ b + b ◦ a = 0.

4. Montrer que V1 ∩ W1 = V1 ∩ W−1 = V−1 ∩ W1 = V−1 ∩ W−1 = {0}. 5. Montrer que b(V1) = V−1 et que b(V−1) = V1.

6. On appelle antiinvolution de V tout c ∈ End(V ) tel que c ◦ c(v) = −v pour tout v ∈ V ; montrer que a ◦ b et b ◦ a sont des antiinvolutions.

Désormais K = R. Pour tout nombre complexe z = x+ıy et tout v ∈ V, on définit le produit de v par z grâce à la formule

(P) (x + ıy) × v = x × v + y × (a ◦ b(v)).

On observera que si z = x on retrouve le produit x×v du vecteur v par x :

donc, la formule (P) étend à C × V la multiplication déjà connue sur R × V .

7. Montrer que pour tous z,z′ ∈C et v∈V on a. z×(z′×v)=(z×z′)×v puis énoncer sans les démontrer les formules qu’il faudrait encore vérifier pour pouvoir affirmer que V est un espace vectoriel complexe.

On admet que le produit (P) fait de V un espace vectoriel complexe.

8. On suppose que V est de dimension complexe finie n. Montrer que V1 et V−1 sont de dimension r ́eelle n, et que toute base réelle (b1 , . . . , bn ) de V1 est aussi une base complexe de V telle que (ıb1, . . . , ıbn) est une base réelle de V−1.

9. Si v ∈ V a les coordonnées (z1,...,zn) dans la base réelle (b1,...,bn) de V1 vue comme base complexe de V , trouver celles de a(v), b(v) et a ◦ b(v).