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Bonjour,
C'est une question issue de la deuxième épreuve du capes 2014.
On donne $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et on considère la variable aléatoire $Y$ définie par $Y=X^2$.
On demande de montrer que la variance de $Y$ est égale à $2$.

On avait montré précédemment que $V(Y)$ existe, de même que $E(Y)$, et que $E(Y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$, sauf erreur !

Alors, j'écris que :
$$V(Y)=V(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty} \big(x^2-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\big)^2e^{-\frac{x^2}{2}}dx$$

Est-ce déjà correct ?

Merci par avance pour votre coup de pouce !