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#1 Re : Entraide (supérieur) » equation différentielle y''+(1+q)y=0 Mines 2002 [Résolu] » 30-08-2009 18:37:55
Hello,
voici comment on procède.
pour tout x >= 0, l'hypothèse sur f conduit à avoir :
[tex] f(x)=\rho(x)\cos(\theta(x)) [/tex] et :
[tex] f'(x)=\rho'(x)\cos(\theta(x))-\rho(x)\theta'(x)\sin(\theta(x)) [/tex]
On en déduit que :
[tex] \rho(x)= C > 0[/tex]
[tex] \theta(x) = -x[/tex]
Et puisque f est solution de l'équation différentielle, on montre que q(x) = 0 pour tout x >= 0 (car f"=-f)
On a donc bien montré l'existence des deux fonctions réelles permettant de construire f solution de l'équation différentielle (en vérifiant domaine de définition et ensemble image)
(...)
Je ne vois absolument pas pourquoi la fonction q devrait être nulle (ni en quoi l'hypothèse d'intégrabilité de cette fonction intervient). En prenant comme fonction q la fonction x->exp(-x) qui est continue et intégrable sur R+ et comme conditions initiales f(0)=1 et f'(0)=2 et en demandant à maple de représenter la solution de l'équation différentielle et sa dérivée on trouve bien des graphes qui ressemblent à ce que demande l'énoncé et la fonction rho qui associe à x la racine carrée de la somme des carrés de f(x) et de f'(x) n'est pas constante!!
affaire à suivre
amicalement à tous
#2 Entraide (supérieur) » equation différentielle y''+(1+q)y=0 Mines 2002 [Résolu] » 25-08-2009 15:40:16
- catalanschröder
- Réponses : 15
Bonjour,
pourrais-je avoir une solution ou une indication pour l'exercice (Oral Mines 2002):
Soit q une fonction de [tex]\ R^+\[/tex] vers R continue et intégrable. Soit f une solution non nulle de l'équation différentielle
[tex]\ y''+(1+q)y=0\[/tex].
Montrer qu'il existe [tex]\quad \rho : R^+ \longmapsto R^{*+}\quad et \quad \theta : R^+ \longmapsto R\[/tex] telles que
[tex]\ f=\rho \cos \theta \quad et \quad f'=\rho \sin \theta\[/tex].
c'est l'exercice 1241 du document "lycée Chateaubriand MP* oraux des concours 1997-2003 " que, malheureusement on n'arrive plus à ouvrir sur internet (bien qu'il y apparaisse encore); je peux toutefois envoyer ce fichier à toute personne le demandant.
merci
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