Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à toutes et toutes,

Je me remets aux maths 25 ans après mes études à la fac pour préparer un concours interne (ce n'est pas simple mais c'est motivant!!), et je souhaite prendre avis pour résoudre l'exercice suivant :

On pose : A = Sup |sin (z)| où z est un nombre complexe dont le module est inférieur ou égal à 1.

1- Montrer que pour tout nombre complexe z = x +i.y de module inférieur ou égal à 1, on a : |sin(z)|² ≤ sh²(y)/y²

2- En déduire la valeur exacte de A.

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La première partie de la question 1 ne pose pas problème, et on montre assez facilement que  :|sin (z)|² = sin²(x) + sh²(y)
mais la majoration demandée ne m'apparait pas si évidente que cela.

voici ma démarche : |z|≤ 1 => x²+y² ≤ 1 <=>|x|≤ [tex]\sqrt {(1-y²)}[/tex]

La fonction sinus étant strictement croissante sur [-1 ;1], sin²(x) ≤ sin²([tex]\sqrt {(1-y²)}[/tex])
et pour tout réel t, |sin(t)| ≤ |t|,
d’où : |sin (z)|² ≤ 1 – y² + sh²(y)

En supposant que la majoration est vraie, on cherche alors à montrer que : 1 – y² + sh²(y) ≤ sh²(y)/y², ce qui revient à étudier sur [0;1] : 0 ≤ (1-y²).(sh²(y) - y²) et donc 0 ≤ sh²(y) - y².

Le DSE de la fonction sh sur [tex]\mathbb{R}[/tex] nous assure que pour tout t réel, t ≤ sh(t),
ce qui permet de conclure que la condition 0 ≤ sh²(y) - y² est respectée sur [-1 ;1].

On obtient ainsi la majoration de |sin (z)|² demandée, la valeur exacte de A se calcule en pour y=1 dans le majorant,
soit A = sh²(1).

Qu'en pensez-vous ?? Il y aurait-il une méthode disons "plus élégante" pour résoudre cet exercice ??

Je vous remercie d'avance de vos remarques et de vos conseils.