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Bonjour,

Je me permets d'écrire mes avancements pour ceux que cela intéresse !

Pour [tex]car(K)= 0[/tex] ,
On suppose [tex]pgcd(P,P') = \left\{1,P \right\}[/tex]
[tex]pgcd(P,P') = \prod_{i=1}^r {P_i^{\alpha_i-1}}[/tex]

[tex]pgcd (P,P') =1[/tex] alors [tex]\prod_{i=1}^r {P_i^{\alpha_i-1}}= 1 \alpha_i-1 = 0[/tex] pour tout [tex]i \in  \left\{1,...,r \right\}[/tex] donc [tex]\alpha_i=1[/tex] mais ici je suis pas certaine de la justification.... D'où [tex]P= \prod_{i=1}^r {P_i}[/tex]

[tex]pgcd(P,P')= P = pgcd(P,0)[/tex] donc [tex]P'=0[/tex] donc P est de degré 1 c'est à dire [tex]\alpha_i=1[/tex] pour tout [tex]i \in  \left\{1,...,r \right\}[/tex]
Donc P est séparable

Réciproquement, supposons P séparable alors [tex]P = \prod_{i=1}^r {P_i}[/tex]
Si [tex]P' = 0[/tex] alors [tex]pgcd(P,P')=pgcd(0,P)=P[/tex]
Si [tex]P' \neq 0[/tex] alors [tex]pgcd(P,P')= \prod_{i=1}^r {P_i^{1-1}}=1[/tex]
Donc [tex]pgcd{P,P'}=\left\{1,P \right\}[/tex]

Mais j'ai un doute avec ce raisonnement, en caractéristique nulle, [tex]P'[/tex] peut-il être égal à [tex]0[/tex] ?

Bonsoir, merci de votre réponse
Oui c'est vrai !

Par exemple pour V1 je trouve comme norme [tex]\sqrt(2/3)[/tex]
Donc en divisant tous les termes de mon vecteur je vais avoir une norme de 1.

Cependant pour V3 je trouve une norme de [tex]\sqrt(-2)[/tex] ce qui me semble impossible ...

Je vais revérifier mes calculs

Oui exacte ! Mais je viens de m'en rendre compte !J'ai compris par conséquent.

Pour finir,je me demande que si maintenant au lieu de prendre une translation mais une symétrie centrale. On peut affirmer qu'avec ce qu'on vient de démontrer que c'est la composée d'u nombre ipair cette fois-ci de symétrie de centre le cerle.

La longueur de [tex]\vec{u}[/tex] < 2*r
On a vu précédent que la translation de vecteur u = [tex]2 \vec{AB}[/tex] est là composée de deux symétries centrales
Dinc la longueur 2AB < 2r donc AB<r
Or À est le centre de la symétrie centrale et B est le centre de l’autre symétrie centrale
Donc cela veut dire que A est le mileu de la symétrie et de même pour B
Par conséquent À et B appartiennent au cercle.

Bonsoir,

D'accord si je calule les coordonnées de l'image du point M(x,y) par la symétrie de centre [tex]A(x_A,y_A)[/tex]
Par exemple l'image du point M(x,y) je l'appelle M'(x',y')

donc [tex]x'=2x_A-x=2x_B-x[/tex]
[tex]y'=2y_A-y=2y_B-y[/tex]

Donc je retrouve bien comme vous que la composée était la symétrie de vecteur [tex]2\vec{AB}[/tex]

"Donc, si tu as une translation de vecteur [tex]\vec{u},[/tex] c'est assez facile de construire deux points A et B de sorte que [tex]2\vec{AB}=\vec{u}[/tex]"

Je suis d'accord il suffit que si on dit [tex]\vec{u}=(x_u,y_u)[/tex] il faut que [tex]x_u=2(x_B - x_A)[/tex] et pareil pour y

Or au début on a vu que la composée est la symétrie de translation [tex]2\vec{AB}[/tex]
Par conséquent on peut dire que la translation de vecteur u est la composée de 2 symétries centrales !

Or je sais que la composé de translation est une translation (propriété cours)
Donc toute translation est la composée  d'un nombre pair de symétries centrale.

Cependant, ce qui me "chagrine un peu" c'est que je n'ai pas utilisé que le centre des syméties devait appartenir au cercle de rayon positif.
Peut-être faudrait dire que les centres doivent s'écrire [tex]2\pi r[/tex] (le périmètre du cercle) ?

Enfin, je me rend compte en écrivant ceci qu'on peut dire que toute symétrie centrale est la compose d'un nombre impair de symétrie centrales.
En effet la symétrie centrale est égale à une translation + symétrie. Ai-je raison ?

Je vous remercie pour votre aide,
Bonne soirée,
Bien cordialement

Rebonjour,

J'ai fait un schéma pour que ce soit plus simple à expliquer. https://ibb.co/N7k0YN3
J'ai montré que la composée de la symétrie de centre A et de la symétrie de centre B est la translation du vecteur [tex]\vec{A'B'}[/tex]

Si je prends un autre vecteur par exemple le vecteur [tex]\vec{v}[/tex]
Il faut que je place D' et E' pour que :
[tex]\vec{D'E'}=\vec{D'I'}+\vec{I'E'}[/tex]

Le centre de symétrie appartient au cercle