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Bonsoir,

L'expression "si f(x)=0 " signifie que 0 est l'image de x par f.
Dans mon cas, il faut alors que trouve tous les x tels que f(x)=0

Bonsoir !

Je pense que du coup forcément [tex]\frac{1}{k^\alpha +2k\beta}[/tex] ne peut converger que vers 0 donc la conclusion est la même que pour la convergence absolue à savoir : il faut et il suffit que [tex]\alpha>1[/tex] ou [tex]\beta>1[/tex]

Par conséquent pour le 2) du CSA c'est la conclusion ci-dessus
e pour le 3) [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex] sont obligatoirement positifs donc [tex]\alpha k^{\alpha-1} +2\beta k^{\beta-1}>0[/tex]

Donc finalement pour la série converge il faut que soit [tex]\alpha>1[/tex] et [tex]\beta>=0[/tex] ou [tex]\alpha>0[/tex] et [tex]\beta>1[/tex] ou [tex]\alpha >1[/tex] et [tex]\beta >1[/tex] ou [tex]\alpha=\beta>1[/tex]

Re,

Pour le CSA j'ai esayé de démontré les 3 choses:

1) la série est bien alternée

2) [tex]|u_k|->0[/tex] c'est à dire [tex]\frac{1}{|k^\alpha +2k^\beta|}[/tex] tend vers 0
or [tex]\frac{1}{|k^\alpha +2k^\beta|} = \frac{1}{k^\alpha +2k^\beta}[/tex]
Or là on a montré avat que pour que ça converge il fallait et il suffit que [tex]\alpha >1[/tex] et [tex]\beta >1[/tex] mais ici on veut que ça converge uniquement vers 0. Donc je sais pas comment m'y prendre

3) [tex]|u_k|[/tex] soit décroiante.
Je pose[tex] f(k)= \frac{1}{k^\alpha +2k^\beta}[/tex] [tex]f'(k)=-\frac{(\alpha k^{\alpha -1}+2\beta k^{\beta -1})}{({k^\alpha+2k^\beta})^2}[/tex]

Donc pour que f'(k) soit décrissante il faut que [tex]\alpha k^{\alpha -1}+2\beta k^{\beta -1} >=0[/tex]
Donc que [tex]\alpha k^{\alpha-1}>= -2\beta k^{\beta-1}[/tex]

C'est à dire que pour la série converge absolument il faut et il suffit que [tex]\alpha >1[/tex] ou [tex]\beta >1[/tex]

Ah d'accord en fait il faut que je me demande si ce que j'ai fait c'est nécessaire et suffisant pour la série converge absolument.
Je dirais par conséquent qu'il suffit que \alpha ou \beta >1 pour la série soit absolument convergente

Oui j'aurais dit ça #Edit: j'ai vu que c'était faux mais j'exprime mon point de vue

On a montré que [tex]|\frac{(-1)^k}{k^\alpha +2k\beta}| < \frac {1}{k^\alpha+2k^\beta}[/tex]

Or on a dit que si [tex]\alpha>\beta[/tex] [tex]\frac {1}{k^\alpha+2k^\beta} \sim \frac{1}{k^\alpha}[/tex]
Or d'après une série de référence de Riemann [tex]\sum_{0}^{\infty}\frac{1}{x^\alpha}[/tex] converge ssi [tex]\alpha >1[/tex] donc [tex]\sum_{0}^{1}\frac{1}{k^\alpha}[/tex] converge ssi [tex]\alpha >1[/tex]
On a fait de même pour les cas [tex]\beta>\alpha[/tex] et [tex]\alpha=\beta[/tex]

Donc  [tex]\sum_{0}^{\infty}|\frac{(-1)^k}{k^\alpha +2k\beta}|[/tex] converge ssi [tex](\alpha,\beta) >(1,1)[/tex]

Donc par le théorème de comparaison j'aurai dit mais apparement il y a un truc qui m'échappe que [tex]\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^\alpha +2k\beta}[/tex] est absolument convergente ssi [tex](\alpha,\beta) >(1,1)[/tex]

Re,

Oui pardon je me l'étais écrit juste pour faire la suite.

Effectivement si maintenant [tex]\alpha = \beta[/tex], alors [tex]\frac{1}{k^\alpha +2k\beta} = \frac{1}{3k^\alpha} \sim \frac {1}{k^\alpha}[/tex]

Finalement si on compare avec une série de référence de Riemann la série est absolument convergente ssi [tex](\alpha,\beta)>(1,1)[/tex]

Re,

Oui je m'en suis rendu compte mais j'avais mal lu je pensais que mon signe n'étais pas bon excusez moi.

Si je reviens au CSA, si je l'utilise il faudrait que je montre que[tex] u_n= \frac{1}{k^\alpha +2k^\beta}[/tex] soit une suite décroissante i.e [tex]|u_{n+1}|<=|u_n|[/tex] et que la la limite lorsque k tend vers l'infini de [tex]U_n[/tex] est 0. Et ça me donnerait des conditions sur [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex]

Re,
Ah je ne savais pas,nous nous l'avons donné comme le critère de convergence des séries alternées. Et quand vous parlez de le critère spécial des séries alternées je pensais c'était le CSA mais spéciale !
D'ailleurs nous l'avons plus appelé le critère de Leibniz même si je sais que ce n'est pas exactement la même chose .
Je vous souhaite une bonne nuit !

Bonjour  !

Si je comprends bien j'aurai du plutôt du écrire [tex]\frac{(-1)^k}{k^\alpha +2k^\beta} \sim \frac{(-1)^k}{k^{max(\alpha,\beta)}}[/tex] lorsque [tex]x->\infty[/tex]

Cependant ici, pour l'instant je ne traite que la convergence absolue(je vais traiter la convergence après)
Donc [tex]\frac{1}{k^\alpha +2k^\beta}\sim \frac{1}{k^{max(\alpha,\beta)}}[/tex]

Or [tex]\sum _{0}^{\infty }\frac{1}{k^{max(\alpha,\beta)}}[/tex] converge d'après une série de Riemann ssi [tex]max(\alpha,\beta) >1[/tex]
Donc [tex]\sum _{0}^{\infty }|\frac{(-1)^k}{k^\alpha +2k^\beta}|[/tex] converge ssi [tex]max(\alpha,\beta) >1[/tex] d'après le théorème d'équvalence
Donc [tex]\sum _{0}^{\infty }\frac{(-1)^k}{k^\alpha +2k^\beta}[/tex] est absoluement convergente ssi [tex]max(\alpha,\beta) >1[/tex]
Cela veut dire que dans mon couple [tex](\alpha,\beta)[/tex] au moins un des deux doit être strictement supérieur à1.

Je comprends tout à fait et je vous remercie encore pour votre aide.
Je vais essayer ce que vous dites.

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