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Voici ma réponse , est ce que cela vous semble juste ?

Soit $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}),$ or $\mathcal{F}(H f)=$ $\frac{1}{\pi} \mathcal{F}(\operatorname{vp}(1 / x)) \mathcal{F}(f)=-i \operatorname{signe} \mathcal{F}(f) . \quad$Par conséquent, $\mathcal{F}(H f)$ est dans $L^{2}(\mathbb{R})$ et
$\|\mathcal{F}(H f)\|_{2}=\|\mathcal{F}(f)\|_{2}$ Comme $\mathcal{F}$ est une isométrie sur $L^{2}(\mathbb{R}),$ il s'ensuit que $H f \in$ $L^{2}(\mathbb{R})$ et que $\|H f\|_{2}=\|f\|_{2} .$ L'espace $\mathcal{S}$ étant dense dans $L^{2}(\mathbb{R}),$ l'application linéare $H$ s'étend en une isométrie de $L^{2}(\mathbb{R}) .$

Par contre dans la question 2 j'arrive pas à trouver l'expression , est ce que vous l'avez calculé ?