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Bonjour,

En classe de 1ère, on apprend le lien entre la croissance d'une fonction et le signe de sa dérivée.

Premièrement :
Je vois dans certains cours, un théorème écrit,
   - parfois au sens "large" :
         f' supérieure ou égale à 0, équivalent à, f croissante
   - ou parfois au sens "strict" :
         f' strictement supérieur à 0 (sauf peut-être en un nombre fini de points), équivalent à, f strictement croissante

la notion de "nombre fini" me semble fausse, car,

Deuxièmement :
Je vois dans certains cours,
"Une fonction f ne peut pas être strictement croissante, si elle est constante sur un intervalle non réduit à un point".
Par contraposée, on peut dire :
"si f est constante sur un intervalle réduit à un point (point isolé), cela n'interdit pas qu'elle soit strictement croissante".

Je m'interroge parce-que,
dans le théorème au sens strict, on parle d'un "nombre fini" de points (où la dérivée s'annule).
Est-ce qu'on ne devrait pas plutôt dire : (pour le sens strict)
f' strictement supérieur à 0 (sauf peut-être en un nombre quelconque de points isolés), équivalent à, f strictement croissante.

Pour illustrer mon propos, je pense aux fonctions cosinus ou sinus :
Si on prend par-exemple :
[tex]f(x)=sin{x}+x[/tex]
sa dérivée est :
[tex]f'(x)=cos{x}+1[/tex]

Mon exemple en image :
- en bleu, la courbe de f
- en orange, la courbe de f'
- en rose, la tangente (horizontale) à la courbe de f, en un point où f' s'annule

On remarque que f' s'annule en un nombre infini de points, (mais ils sont isolés...)
Alors, est-ce qu'on a le droit de dire que f est strictement croissante ? (ou juste croissante au sens large) ?

D'après le théorème que je vois dans mon cours, j'ai envie de répondre "non" (pas strictement), à cause du nombre infini où f' s'annule.
Pourtant, j'ai l'impression qu'EN FAIT, f est BIEN strictement croissante, et que donc le théorème est mal énoncé.

Et qu'il faudrait donc changer le théorème, pour ne pas dire "un nombre fini", mais plutôt parler de "points isolés". (comme je l'ai dit précédemment).

Je n'affirme rien, au contraire je n'arrive pas à "trancher".
Alors justement, si quelqu'un en est capable, merci.