Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Merci.

J'avait deduit que $f^{(n)}=0$ pour $ n\ge 4$
Donc j'ai cherchè une fonction du type $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ telle que $f(1)=f(2)=f(3)=0 , f'(1)=4$

Je trouve $f(x)= 2x^{3}-12x^{2}+22x-12$
Mais je suppose que ce n'est pas la bonne méthode.

$e^{f(z)}=e^{f(0)}=e$ pour tout $z\in C$

Donc on doit avoir :
$f(z)=1 + i2k\pi$ avec $k\in Z$ et pour tout $z\in C$ et on a la condition $f(0)=1$.
On en deduit que  $Re(f)$ est constante .
On sait que f est holomorphe sur C et que sa partie réelle est constante , on en deduit  pour le  théorème de l’image ouverte que f est également constante. En effet, sinon son image serait ouverte et non vide, or Im(f) est contenue dans une droite par hypothèse, ce qui n'est pas possible.
Pour conclure la fonction f est constante avec f(z)=1 pour tout z∈C.
Je pense que cette fois la solution est correcte.
Merci encore Fred, je n'y serais jamais arrivé sans ton précieux guide

Merci encore Fred.

On a vu que $|e^{f(z)}|=e^{Re(f(z))}\leq e^{arccosh(5)}$ , on en deduit que la fonction holomorpe $e^{f(z)}$ (composée de deux fonctions holomorphes) est bornèe et que pour le théorème de Liouville elle est constante:
$e^{f(z)}=e^{f(0)}=e$ pour tout $z\in C$, d'où
$f(z)=1 $ pour tout $z \in C$

Pourquoi j'ai besoin du théorème de l'image ouverte? Je ne comprends pas.

Je suis desolé Fred mais je n'y arrive pas.
La fonction $f$ est holomorphe sur C donc $ f$ est développable en série entière, on a  $ f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ avec la condition $f(0)=1$ que implique $ a_0=1$
Et là je suis coincé ... Je ne comprende pas pourquoi $f$ est bornée.
Merci encore pour ton aide.

1. Remarquons que la fonction holomorphe $g(z)=\frac{1+|e^{2f(z)}|}{|e^{f(z)}|}$ est bornée sur C , donc pour le th. de Liouville $g$ est constante et  pour tout $z\in C$ 
$g(z)=\frac{1+e^2}{e}$
On en deduit que la fonction $f$ est bornée donc constante ,d'où:
$f(z)=1$ pour tout $z\in C$

Je ne suis pas trop sûr de mes arguments

Merci beaucoup Fred!

2. Remarquons que $\frac{1}{2}$ est un point d'accumulation pour E={$1,\frac{1}{2},.......\frac{1}{n}$}.
On en dèduit pour le principe zéros isolés $f'$ est égale à 0 sur $D(0,1)$ donc $f$ est constante sur $D(0,1)$ et égale à 2.

3. Si j'applique le principe du maximum à $g(z)=\frac{1-f(z)}{e^{z-1}}$ je trouve Max$|g(z)|$ pour $|z|=1$.
Donc $\frac{|1-f(z)|}{|e^{z-1}|}\leq1$ sur $\overline{D(0,1)}$.
On obtient $1-e^{z-1}\leq f(z)\leq 1+e^{z-1}$ pour tout $z\in\overline{D(0,1)}$.... et là je crois que je ne suis pas sur la bonne route!

Merci, si j'ai bien compri on obtient  :

1- G10={$ (\bar a,\bar b,\overline{25c})$ : a,b,c ∈ Z} et G10 a cardinalité 40 (cardinal = nombre de elements de G10 dans Z\2Z x Z\2Z x Z\250Z dans ce cas)
2- G10={$ (\bar a,\overline{50b})$ : a,b ∈ Z} et le cardinal de G10 est 20
3- G10={$ (\bar a,\bar b,\overline{4c})$ : a,b,c ∈ Z} et le cardinal de G10 est 250
4- G10={$ (\bar a,\overline{20b})$ : a,b ∈ Z} et le cardinal de G10 est 50
5- G10={$ (\bar a,\bar b,\bar c)$ : a,b,c ∈ Z} et le cardinal de G10 est 1000
6- G10={$ (\bar a,\overline{10b})$ : a,b ∈ Z} et le cardinal de G10 est 100
7- G10={$ (\bar a,\bar b,\overline{5c})$ : a,b,c ∈ Z} et le cardinal de G10 est 200
8- G10={$ (\bar a,\bar b,\overline{2c})$ : a,b,c ∈ Z} et le cardinal de G10 est 500
9- G10={$ (\overline{100a})$ : a ∈ Z} et le cardinal de G10 est 10

Les cardinal de G10 est différent pour chaque cas donc on en dèduit que :
G ≃ G′ si et seulement si les groupes G10 et G'10 ont le même cardinal

J'ai appliqué la méthode que tu a montré:

Je suis désolé si ce n'est pas trop clair mais je ne sais pas mettre de tirets sur les caractères

pour Z\2Z x Z\2Z x Z\250Z
on note G10 ={x,y,z} l’ensemble des éléments de G d’ordre divisant 10, donc respectivement d'ordre 10,5 et 2

G_10 ={éléments de G d’ordre 10}  On a (10a,10b,10c)=(0,0,0) pour un certain k,l,m dans Z
10a= 2k 10b=2l 10c=250m
donc on obtient G_10={(a,b,25p): (a,b,p) ∈ Z\2Z x Z\2Z x Z\250Z}

G_5 ={éléments de G d’ordre 5}  On a (5a,5b,5c)=(0,0,0) pour un certain k,l,m dans Z
5a=2k 5b=2l 5c=250m 
donc on obtient G_10={(2p,2q,50r): (p,q,r )∈ Z\2Z x Z\2Z x Z\250Z}

G_2 ={éléments de G d’ordre 2}  On a (2a,2b,2c)=(0,0,0) pour un certain k,l,m dans Z
2a=2k 2b=2l 2c=250m 
donc on obtient G_10={(a,b,125p): (a,b,p) ∈ Z\2Z x Z\2Z x Z\250Z}

en conclusion:
G10={(a,b,25c),(2a,2b,50c),(a,b,125c) : (a,b,c)∈ Z\2Z x Z\2Z x Z\250Z}

Merci encore.
Pour le 3 je ne suis pas sûr :

pour le th. chinois on peut écrire :
1- Z\250Z ≅ Z\5Z x Z\5Z xZ\5Z x Z\2Z ,on obtient G10 = Z\2Z x Z\2Z x Z\5Z
2- Z\500Z ≅ Z\5Z x Z\5Z xZ\5Z x Z\4Z ,on obtient G10 = Z\2Z x Z\5Z
3- Z\40Z ≅ Z\2Z x Z\2Z xZ\2Z x Z\5Z ,on obtient G10 = Z\5Z x Z\5Z x Z\2Z
4- Z\200Z ≅ Z\2Z x Z\2Z xZ\25Z  ,on obtient G10 = Z\5Z x Z\2Z
5- dans ce cas G10=G
6- Z\100Z ≅ Z\10 x Z\10Z  ,on obtient G10 = Z\10Z x Z\10Z
     ( mais aussi Z\100Z ≅ Z\2Z x Z\2Z xZ\25Z  ,on obtient G10 = Z\10Z x Z\2Z 
                   et Z\100Z ≅ Z\5Z x Z\5Z xZ\4Z  ,on obtient G10 = Z\10Z x Z\5Z ou je me trompe ?)
7- ??? Z\2Z , Z\5Z ou Z\10Z ?

La question 4 je ne sais pas du tout comment l'approcher....