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Bonjour,

j'essaie de résoudre l'exercice suivant: soient $m,n \geq 1 $ premiers entre eux, montrer que $\mathbb{Q}(\zeta_n, \zeta_m)=\mathbb{Q}(\zeta_{nm})$ et que $\mathbb{Q}(\zeta_n) \cap \mathbb{Q}(\zeta_m) = \mathbb{Q}$. J'ai pu faire le premier point, mais je bloque sur le second… bien sûr une inclusion est triviale mais je ne vois pas bien comment faire l'autre inclusion: on ne peut pas travailler avec les degrés en toute généralité car je ne connais pas le degré de $\mathbb{Q}(\zeta_n) \cap \mathbb{Q}(\zeta_m)$ sur $\mathbb{Q}$ en fonction de $n$ et $m$, et faire l'inclusion directement à la main ne me paraît pas faisable. Je sais quand même que $\mathbb{Q}(\zeta_n) \cap \mathbb{Q}(\zeta_m)$ est une extension galoisienne de $\mathbb{Q}$ donc j'ai essayer de regarder l'inclusion en termes de groupes de Galois avec $G(\mathbb{Q}(\zeta_n, \zeta_m)| \mathbb{Q})$ et $G(\mathbb{Q}(\zeta_n, \zeta_m)| \mathbb{Q}(\zeta_n) \cap \mathbb{Q}(\zeta_m))$ mais ca ne donne pas grand-chose pour l'instant. Suis-je sur la bonne piste ? J'aurais besoin d'un petit coup de pouce..