Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Ici , du fait que E soit séparé le r>0 dépend de $x_{i}$ et $x_{j}$ et toi tu dis qu'on peut trouver un rayon qui ne dépend pas de ces derniers ? Là je ne comprends pas, même si les i et j sont fini.
Mais si tu  prouve celà, la suite est clair.

Pour mon idée, je me rends compte d'une erreur.
Le fait est que $B_{k}$ varie lorsque $r_{k}$ donc à chaque $r_{k}$ correspond un $B_{k}$ donc la définition de l'adhérence ne tient plus, puisque l'ensemble concerné varie .
Cet exercice me coince depuis deux jours, si tu pouvais rédiger ton idée ,se serait mieux.
Merci d'avance .

Et merci pour ce lien Zebulor , il m'a été bien utile.

J'ai encore réfléchi et voici ce que j'ai pû faire avec tes indications. J'aimerais savoir si c'est correct.
  Supposons que $F_{n}$ n'est pas ouvert. Alors
$$ \exists X \in F_{n} , \forall r_{k}>0 , B(X,r_{k}) \nsubseteq F_{n}$$
le $$ \exists X \in F_{n}, \forall r_{k}>0 ,\exists B_{k} \in B(X, r_{k}) et B_{k} \notin F_{n} $$
ie $ \triangle (X, B_{k})<r_{k} ,\#B_{k}≤n-1$
ie $ \forall x_{i} \in X, d(x_{i}, B_{k})<r_{k}$
Comme $B_{k}$ est fini $ \exists b_{k}(x_{i}) \in B_{k} , d(x_{i}, b_{k}(x_{i})<r_{k}$
On a finalement :$  \exists X \in F_{n} , \forall r_{k}>0, \forall x_{i} \in X ,\exists b_{k}(x_{i}) \in B_{k},tel que  d(x_{i}, b_{k}(x_{i}))< r_{k} $
On déduit que $x_{i}$ est un point adhérents de $B_{k}$. Comme $B_{k} $ est fermé , alors $x_{i} \in B_{k} ,\forall i \in \{1,...,n-1, n,...\}$ absurde car $\#B_{k}≤n-1$
Es-ce correct ?

Vraiment merci pour ton aide Maenwe, mais désolé je suis toujours largué.

Salut. J'ai essayé l'absurde mais je coince toujours.
Pouvez vous être plus explicite ?